1. 商群和同态

这段话是本章的开篇，旨在为读者建立一个宏观的认识，即我们将要学习一种名为“商群”（Quotient Group）的新工具，以及这个工具为什么重要。

1. 引入新概念：核心概念是商群。作者首先点明商群的作用：它是从一个已知的、可能很复杂的群 $G$ 出发，构造出一个“更小”的群的一种方法。这里的“更小”并不一定指元素的数量更少（虽然通常是这样），更深层的含义是结构上可能更“简单”或更“粗糙”。
2. 类比旧概念：为了帮助理解，作者将商群与我们已经熟悉的子群（Subgroup）进行类比。我们研究子群是为了将大群分解，通过考察其内部的、更小的群结构来理解整体。类似地，研究商群也是为了理解 $G$ 的结构，但视角不同。
3. 揭示核心关系：关键的一句话是“群 $G$ 的结构反映在商群和 $G$ 的子群的结构中”。这意味着，一个复杂的群 $G$ 并非一个不可分割的黑箱，它的内部秘密隐藏在它的子群和商群之中。如果我们能彻底搞清楚一个群所有的子群和商群，我们就能很大程度上还原出这个群的全貌。
4. 引入“格”的几何直觉：作者用子群格（Lattice of Subgroups）这个几何概念来描绘子群和商群在整体结构中的位置。
   • 子群的格：“自然地出现在‘底部’”。想象一下群 $G$ 的结构图，那些包含于 $G$ 的子群，就像是构建 $G$ 的基石，位于结构的下方。例如，对于群 $\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$，它的子群 $\{0\}$，$\{0, 3\}$，$\{0, 2, 4\}$ 都可以看作是比 $\mathbb{Z}_6$ “低”的结构。
   • 商群的子群格：“反映在 $G$ 的格的‘顶部’”。这句话比较抽象。它暗示商群的结构与 $G$ 中那些“更大”的子群（特别是包含某个特定正规子群的那些子群）相对应。可以想象成将 $G$ 的一部分结构“压缩”后得到的上层建筑。我们将在后续的“格同构定理”（Lattice Isomorphism Theorem）中学习到这个精确的对应关系。
5. 最终目的：为什么要这么做？最终目标是“获取关于群 $G$ 的信息”，甚至实现对群的“分类”。群论的一个核心目标就是对群进行分类，就像生物学家对物种进行分类一样。通过研究子群和商群，我们可以将一个大问题（分类所有群）分解成一系列小问题（研究简单群、以及如何用简单群“搭建”复杂群）。这种“分解-分析-合成”的思想是整个抽象代数的基石。

1. 提出核心论点：本段的核心观点是“研究商群等同于研究同态”。这是一个非常深刻且重要的论断，是理解商群的关键。它告诉我们，商群和同态是同一枚硬币的两个面。
2. 回顾同态定义：作者首先提醒我们什么是同态（Homomorphism）。一个从群 $G$到群 $H$ 的映射 $\varphi: G \to H$ 被称为同态，如果它“尊重群结构”。具体来说，这意味着对于 $G$ 中的任意两个元素 $g_1, g_2$，它们先在 $G$ 中运算，再通过 $\varphi$ 映射到 $H$ 的结果，与它们先分别映射到 $H$ 再在 $H$ 中运算的结果是相同的。用公式表达就是 $\varphi(g_1 \cdot_G g_2) = \varphi(g_1) \cdot_H \varphi(g_2)$。这里的 $\cdot_G$ 和 $\cdot_H$ 分别是 $G$ 和 $H$ 中的群运算。
3. 引入“纤维”概念：接下来，引入了一个关键的几何概念——纤维（Fiber）。对于一个同态 $\varphi: G \to H$，和一个 $H$ 中的元素 $a$，元素 $a$ 上方的纤维，记作 $\varphi^{-1}(a)$，指的是 $G$ 中所有被 $\varphi$ 映射到 $a$ 的元素的集合。即 $\varphi^{-1}(a) = \{ g \in G \mid \varphi(g) = a \}$。
4. 图1的可视化解释：图1非常直观地展示了同态和纤维的概念。
   • 群 G：被画成顶部的、包含很多点的长方形区域。这些点代表 $G$ 中的元素。
   • 群 H：被画成底部的水平线。线上的点，如 $a, b, ab, 1$ 等，代表 $H$ 中的元素。
   • 同态 $\varphi$：由从上到下的箭头表示，它将 $G$ 中的点“投影”到 $H$ 的水平线上。
   • 纤维：在图1中，每个 $H$ 中元素（如 $a$）的正上方，都有一个矩形框，框内的垂直线（或可以想象成一簇点）就代表了 $a$ 的纤维 $\varphi^{-1}(a)$。这形象地说明了， $H$ 中的一个点可能对应着 $G$ 中的一大堆点。这个“一大堆点”的集合，就是纤维。
   • 这个图揭示了同态的本质：它是一种“多对一”的映射，它将 $G$ 进行了一次划分（partition），划分的依据就是元素被映射到了 $H$ 中的哪个元素。每个划分出来的“块”，就是一个纤维。
5. 建立联系：作者通过这幅图暗示，即将定义的商群，其“元素”恰恰就是这些纤维！研究这些纤维（这些 $G$ 的子集）如何构成一个群，就是研究商群。而这些纤维是由同态 $\varphi$ 定义的。因此，要研究商群，就离不开同态；反过来，给定一个同态，我们就能得到一个商群。这就是“本质上等同”的含义。

1. 定义纤维的乘法：这是本段的核心。上一段我们说商群的元素是纤维，但一个集合要成为一个群，必须定义一种运算。这里的关键思想是：纤维之间的运算，由它们在 $H$ 中对应的“投影点”的运算来诱导（induce）或定义。
   • 我们有两个纤维，$X_a = \varphi^{-1}(a)$ 和 $X_b = \varphi^{-1}(b)$。
   • 想知道 $X_a$ 和 $X_b$ “相乘”等于什么。
   • 方法是：先看它们的“投影点” $a$ 和 $b$ 在 $H$ 中相乘得到什么。结果是 $ab$。
   • 那么，$X_a$ 和 $X_b$ 的乘积就被定义为 $ab$ 上方的那个纤维，即 $X_{ab} = \varphi^{-1}(ab)$。
   • 公式化：$X_a \cdot X_b := X_{ab}$。这个 := 符号表示“被定义为”。
2. 验证群公理：定义了运算之后，还必须验证这个运算满足群的三个基本公理：结合律、存在单位元、每个元素都有逆元。
   • 结合律 (Associativity)：我们需要证明 $(X_a X_b) X_c = X_a (X_b X_c)$。
   • 左边：$(X_a X_b) X_c = X_{ab} X_c$ (根据定义) $= X_{(ab)c}$ (再次根据定义)。
   • 右边：$X_a (X_b X_c) = X_a X_{bc}$ (根据定义) $= X_{a(bc)}$ (再次根据定义)。
   • 因为 $H$ 本身是一个群，所以它的运算满足结合律，即 $(ab)c = a(bc)$。
   • 因此，$X_{(ab)c} = X_{a(bc)}$，所以纤维的乘法也满足结合律。这个性质是直接从 $H$ 的性质“继承”来的。
   • 单位元 (Identity Element)：群 $H$ 有一个单位元，我们记为 $1_H$。那么，对应于 $1_H$ 的纤维 $X_{1_H} = \varphi^{-1}(1_H)$ 就扮演了纤维群中的单位元角色。为什么？因为对于任何纤维 $X_a$，有 $X_a X_{1_H} = X_{a \cdot 1_H} = X_a$，以及 $X_{1_H} X_a = X_{1_H \cdot a} = X_a$。
   • 逆元 (Inverse Element)：对于 $H$ 中的任何元素 $a$，因为它是一个群，所以它必有逆元 $a^{-1}$。那么，对应于 $a$ 的纤维 $X_a$ 的逆元，就被定义为对应于 $a^{-1}$ 的纤维 $X_{a^{-1}}$。为什么？因为 $X_a X_{a^{-1}} = X_{a a^{-1}} = X_{1_H}$（单位元），以及 $X_{a^{-1}} X_a = X_{a^{-1} a} = X_{1_H}$。
3. 给出初步定义：经过以上步骤，我们发现，这些纤维的集合，在上述定义的运算下，确实构成了一个群。作者在这里给出了一个非正式的定义：“群 $G$ 被划分为若干部分（纤维），这些部分本身具有群的结构，称为 $G$ 的商群”。

1. 回顾纤维乘法的定义：作者首先强调，我们刚刚定义的纤维乘法 $X_a X_b = X_{ab}$ 是完全“依赖”于 $H$ 中的乘法 $ab$ 的。
2. 提出“自然同构”：基于这种依赖关系，作者得出了一个非常自然且重要的结论：由纤维构成的商群（我们暂时称之为 $\mathcal{Q}$），与同态 $\varphi$ 的像（Image of $\varphi$，记作 $\text{im}(\varphi)$）是同构的。
   • 同构 (Isomorphic)：在群论中，同构意味着两个群在结构上是完全相同的，一模一样的。它们只是元素的“名字”不同而已。一个群中的任何关于运算的真命题，在另一个群中也必然成立。
   • 同态的像 (Image of Homomorphism)：$\text{im}(\varphi)$ 是 $H$ 的一个子集，由所有 $G$ 中元素在 $\varphi$ 下的映射结果构成。即 $\text{im}(\varphi) = \{ h \in H \mid \exists g \in G, \varphi(g)=h \}$。我们很快会证明，$\text{im}(\varphi)$ 不仅仅是 $H$ 的子集，它还是 $H$ 的一个子群。
3. 如何理解这个同构：作者给出了识别方式：“纤维 $X_a$ 与其在 $H$ 中的像 $a$ 识别”。这实际上是在定义一个同构映射。
   • 让我们定义一个映射 $\psi: \mathcal{Q} \to \text{im}(\varphi)$。
   • 这个映射的作用是：$\psi(X_a) = a$。它将每一个纤维映射回它在 $H$ 中的那个“投影点”。
   • 验证这是同构：
   • 双射 (Bijective)：这个映射是“一对一”且“映成”的。对于 $\text{im}(\varphi)$ 中的每个元素 $a$，都恰好有唯一一个纤维 $X_a$ 与之对应。所以 $\psi$ 是双射。
   • 保持运算 (Homomorphism)：我们需要验证 $\psi(X_a X_b) = \psi(X_a) \psi(X_b)$。
   • 左边：$\psi(X_a X_b) = \psi(X_{ab})$ (根据纤维乘法定义) $= ab$ (根据 $\psi$ 的定义)。
   • 右边：$\psi(X_a) \psi(X_b) = a \cdot b$ (根据 $\psi$ 的定义)。
   • 左边 = 右边。所以 $\psi$ 是一个同态。
   • 一个既是双射又是同态的映射，就是同构。
4. 结论：这个由纤维构成的商群，其结构完全复制了 $\varphi$ 的像 $\text{im}(\varphi)$。这给了我们第一个关于商群的重要定理的雏形，即第一同构定理：$G/\ker(\varphi) \cong \text{im}(\varphi)$。（这里的 $G/\ker(\varphi)$ 就是我们目前用纤维集合 $\mathcal{Q}$ 所表示的商群）。

1. 设定场景: 作者给出了第一个、也是最重要的一个商群的例子。这个例子将前面所有的抽象概念具体化。
   • 群 G: 选为整数加法群 $G = \mathbb{Z}$。这是一个无限阿贝尔群。
   • 群 H: 选为 $n$ 阶循环群 $H = Z_n$。为了方便，把它写成乘法形式 $Z_n = \langle x \rangle = \{1, x, x^2, ..., x^{n-1}\}$，其中 $x^n=1$。这是一个有限阿贝尔群。
2. 定义同态: 定义了一个映射 $\varphi: \mathbb{Z} \to Z_n$，规则是 $\varphi(a) = x^a$。这个映射把一个整数 $a$ 变成循环群生成元 $x$ 的 $a$ 次幂。
3. 验证同态性质: 接下来验证这个映射确实是同态。根据同态定义，需要证明 $\varphi(\text{运算}_G) = \varphi(\cdot) \varphi(\cdot)$。
   • 在 $G=\mathbb{Z}$ 中，运算是加法。所以我们要验证 $\varphi(a+b) = \varphi(a)\varphi(b)$。
   • 左边：$\varphi(a+b) = x^{a+b}$ (根据 $\varphi$ 的定义)。
   • 右边：$\varphi(a)\varphi(b) = x^a \cdot x^b$ (根据 $\varphi$ 的定义)。
   • 根据指数运算法则，$x^{a+b} = x^a x^b$。
   • 所以 $\varphi(a+b) = \varphi(a)\varphi(b)$ 成立。$\varphi$ 是一个同态。
   • 作者特别提醒，注意两个群的运算不同：$G$ 是加法群，$H$ 是乘法群。同态连接了两种不同的运算。
4. 指出满射性质: $\varphi$ 是满射的（surjective），因为 $H=Z_n$ 中的任何一个元素 $x^a$ ($0 \le a < n$) 都可以由 $G=\mathbb{Z}$ 中的整数 $a$ 映射得到，即 $\varphi(a) = x^a$。所以 $\text{im}(\varphi) = Z_n$。
5. 计算纤维: 这是最关键的一步。我们来计算 $H=Z_n$ 中任意一个元素 $x^a$ 上方的纤维是什么。
   • 根据定义，$\varphi^{-1}(x^a) = \{ m \in \mathbb{Z} \mid \varphi(m) = x^a \}$。
   • 代入 $\varphi$ 的定义：$= \{ m \in \mathbb{Z} \mid x^m = x^a \}$。
   • 两边同乘以 $(x^a)^{-1} = x^{-a}$，得到：$= \{ m \in \mathbb{Z} \mid x^{m-a} = 1 \}$。这里的 $1$ 是 $Z_n$ 的单位元。
   • 在 $n$ 阶循环群中，$x^k=1$ 当且仅当 $k$ 是 $n$ 的倍数。这是循环群的基本性质（原文中引用了命题2.3）。
   • 因此，条件 $x^{m-a}=1$ 等价于 $m-a$ 是 $n$ 的倍数，即 $n \mid (m-a)$。
   • 这个条件用同余的语言来写，就是 $m \equiv a \pmod n$。
   • 所以，纤维 $\varphi^{-1}(x^a) = \{ m \in \mathbb{Z} \mid m \equiv a \pmod n \}$。
6. 得出结论: 这个集合 $\{ m \in \mathbb{Z} \mid m \equiv a \pmod n \}$ 正是我们在初等数论中学到的模n同余类（Congruence Class modulo n），通常记作 $\bar{a}$ 或 $[a]$。
   • 结论是：这个特定的同态 $\varphi$ 的纤维，不多不少，正好就是我们熟悉的模n同余类。

1. 图示具体化: 作者将之前抽象的图1，用刚刚 $\mathbb{Z} \to Z_n$ 的例子进行了填充，得到了图2。
   • 顶部 $\mathbb{Z}$: 代表群 $G$。被划分成了 $n$ 个框。每个框代表一个纤维，也就是一个同余类。
   • 第一个框是 $0, \pm n, \pm 2n, ...$，这是同余类 $\bar{0}$。
   • 第二个框是 $1, 1\pm n, 1\pm 2n, ...$，这是同余类 $\bar{1}$。
   • ...
   • 第 $a+1$ 个框是 $a, a\pm n, a\pm 2n, ...$，这是同余类 $\bar{a}$。
   • 底部 $Z_n$: 代表群 $H$。下面的点 $x^0, x^1, ..., x^{n-1}$ 是 $Z_n$ 的元素。
   • 映射关系: 顶部的每个框（纤维）里的所有元素，都被 $\varphi$ 映射到底部对应的一个点上。例如，框 $\bar{a}$ 里的所有整数都被映射到 $x^a$。
2. 回顾纤维群的运算规则: 之前我们定义了抽象的规则：$X_a X_b = X_{ab}$。现在我们把它应用到这个具体的例子中。
   • $Z_n$ 中的乘法是 $x^a x^b = x^{a+b}$。（注意，如果指数 $a+b \ge n$，需要模 $n$ 处理，但为了符号简洁，这里暂时写作 $x^{a+b}$，其精确含义是 $x^{(a+b)\pmod n}$）。
   • $x^a$ 对应的纤维是 $\bar{a}$。
   • $x^b$ 对应的纤维是 $\bar{b}$。
   • $x^{a+b}$ 对应的纤维是 $\overline{a+b}$。
   • 根据 $X_a X_b = X_{ab}$ 的规则，我们得到同余类之间的运算规则：$\bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{a+b}$。
3. 识别这个新群: 这个由同余类为元素、以 $\bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{a+b}$ 为运算的群，正是我们熟知的模n整数加法群，其标准符号是 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。
   • 这里的 . 符号只是一个通用的群运算符号。因为我们是从 $G=\mathbb{Z}$ (加法群) 出发构造的，所以这个运算通常也写成加法：$\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b}$。例如，在 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 中，$\bar{1} + \bar{3} = \overline{1+3} = \bar{4} = \bar{0}$。
4. 重申同构关系: 作者最后再次点明，这个构造出来的群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，是同构于 $\varphi$ 的像的。因为 $\varphi$ 是满射，其像是整个 $Z_n$。所以我们得到了一个非常重要的同构关系：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong Z_n$。
   • 这意味着，模 $n$ 整数加法群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 和 $n$ 阶（乘法）循环群 $Z_n$ 在结构上是完全一样的。这是抽象代数中一个基础且重要的结论。

1. 识别单位纤维: 作者首先指出了商群中单位元的具体形态。
   • 商群的单位元是 $H$ 中单位元 $x^0=1$ 上方的纤维。
   • 我们已经计算过，这个纤维是 $\varphi^{-1}(1) = \{m \in \mathbb{Z} \mid m \equiv 0 \pmod n\}$。
   • 这个集合就是所有 $n$ 的倍数的集合，记作 $n\mathbb{Z}$。
   • 作者强调，$n\mathbb{Z}$ 本身是 $\mathbb{Z}$ 的一个子群。这是一个非常重要的观察，我们稍后会看到，单位元的纤维（即核）永远是一个子群。
2. 纤维与子群的关系: 接着，作者揭示了其他纤维与这个特殊的“单位纤维” $n\mathbb{Z}$ 的关系。
   • 任意一个纤维（同余类 $\bar{a}$）可以被看作是子群 $n\mathbb{Z}$ 的“平移”。
   • $\bar{a} = \{m \in \mathbb{Z} \mid m = a + kn \text{ for some } k \in \mathbb{Z}\} = \{a+j \mid j \in n\mathbb{Z}\}$。
   • 这个集合记作 $a+n\mathbb{Z}$，称为 $n\mathbb{Z}$ 的一个陪集（coset）。
   • 这意味着，所有的纤维都可以由一个子群 $n\mathbb{Z}$ 通过平移得到。这为我们从子群的角度理解商群提供了基础。
3. 提出新的运算定义: 基于纤维是陪集这一认识，作者提出了定义商群运算的第二种、也是更常用的一种方式。
   • 旧方式（通过H）: 要计算 $\bar{a}$ 和 $\bar{b}$ 的和，先映射到 $H$ ($\varphi(a)=x^a, \varphi(b)=x^b$)，在 $H$ 中运算 ($x^a x^b = x^{a+b}$)，再找回结果对应的纤维 ($\overline{a+b}$)。这个过程依赖于 $\varphi$ 和 $H$。
   • 新方式（通过代表元）: 要计算 $\bar{a}$ 和 $\bar{b}$ 的和，直接从纤维 $\bar{a}$ 中随便选一个元素（称为代表元，representative），比如 $a_1$；再从纤维 $\bar{b}$ 中随便选一个元素，比如 $b_1$。然后在原群 $\mathbb{Z}$ 中将它们相加，得到 $a_1+b_1$。最后，看 $a_1+b_1$ 这个和落在了哪个纤维里，那个纤维就是最终结果。
   • 这个新方法被称为“代表元的运算”。运算规则是 $(a+n\mathbb{Z}) + (b+n\mathbb{Z}) = (a+b)+n\mathbb{Z}$。这正是我们定义 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的标准方式。
4. 比较两种方式的优劣: 作者指出，从计算的角度看，第二种方式（使用代表元）通常“容易得多”。
   • 第一种方式需要知道同态 $\varphi$ 和目标群 $H$ 的具体结构，计算过程是“$G \to H \to G$”的绕圈。
   • 第二种方式完全在 $G$（这里是 $\mathbb{Z}$）和它的陪集的框架内完成，不需要明确地构造或引用 $\varphi$ 和 $H$。只需要知道那个特殊的子群（这里是 $n\mathbb{Z}$）就足够了。这使得商群的计算和理论构建可以更加“内蕴”（intrinsic）。

1. 引言: 在深入讨论商群之前，作者指出需要先研究一下同态本身的一些基本性质，特别是与其纤维相关的性质。这预示着接下来的内容将为商群理论提供必要的工具和引理。
2. 聚焦特殊纤维: 在一个同态 $\varphi: G \to H$ 产生的所有纤维中，有一个纤维是最特殊、最重要的，那就是目标群 $H$ 的单位元 $1_H$ 上方的纤维。
3. 给出定义: 这个特殊的纤维被赋予了一个专门的名称：核（Kernel）。
   • 定义: 同态 $\varphi$ 的核，记作 $\ker \varphi$，是 $G$ 中所有被 $\varphi$ 映射到 $H$ 的单位元 $1_H$ 的元素的集合。
   • 集合表示: $\ker \varphi = \{ g \in G \mid \varphi(g) = 1_H \}$。
   • 与纤维的关系: 根据纤维的定义 $\varphi^{-1}(a)=\{g \in G \mid \varphi(g) = a\}$，我们立刻可以看出，核就是单位元的纤维：$\ker \varphi = \varphi^{-1}(1_H)$。
4. 符号说明:
   • $\ker$: 是 "Kernel" 的缩写。
   • $1$: 在定义式中，这个 $1$ 指的是 $H$ 的单位元 $1_H$，而不是数字1。在不同的群中，单位元的具体形式不同（例如，加法群的单位元是 $0$，矩阵乘法群的单位元是单位矩阵 $I$）。

这个命题列举并证明了同态的五个基本且至关重要的性质。同态的定义仅仅是 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$，但这一个简单的条件却能衍生出下面这些丰富的结论。

(1) 同态将单位元映为单位元

• 内容: $\varphi(1_G) = 1_H$。一个同态必须把始发群 $G$ 的单位元映射到目标群 $H$ 的单位元。
• 理解: 单位元在群中扮演着“不变”的角色。同态作为保持结构地映射，理应保持这种“不变性”。
• 证明思路: 证明利用了同态性质和群中单位元的唯一性。
• 从 $1_G = 1_G \cdot 1_G$ 出发。
• 两边取 $\varphi$：$\varphi(1_G) = \varphi(1_G \cdot 1_G)$。
• 应用同态性质：$\varphi(1_G \cdot 1_G) = \varphi(1_G) \cdot \varphi(1_G)$。
• 于是得到 $\varphi(1_G) = \varphi(1_G) \cdot \varphi(1_G)$。
• 这是一个在群 $H$ 中的等式。设 $y = \varphi(1_G)$，则 $y = y \cdot y$。
• 在一个群中，如果一个元素 $y$ 满足 $y=y^2$，那么两边同乘以 $y^{-1}$，得到 $y \cdot y^{-1} = y^2 \cdot y^{-1}$，即 $1_H = y$。
• 所以 $\varphi(1_G) = 1_H$。这个方法利用了消去律。

(2) 同态保持逆元

• 内容: $\varphi(g^{-1}) = (\varphi(g))^{-1}$。一个元素的逆元的像，等于这个元素的像的逆元。换句话说，可以先取逆元再映射，也可以先映射再取逆元，结果一样。
• 证明思路: 利用刚刚证明的性质(1)和逆元的定义。
• 我们知道 $g \cdot g^{-1} = 1_G$。
• 两边取 $\varphi$：$\varphi(g \cdot g^{-1}) = \varphi(1_G)$。
• 应用同态性质和性质(1)：$\varphi(g) \cdot \varphi(g^{-1}) = 1_H$。
• 这是一个在群 $H$ 中的等式。它表明 $\varphi(g^{-1})$ 这个元素，当它与 $\varphi(g)$ 相乘时，得到 $H$ 的单位元。
• 根据群中逆元的唯一定义，$\varphi(g^{-1})$ 必定是 $\varphi(g)$ 的逆元。
• 即 $\varphi(g^{-1}) = (\varphi(g))^{-1}$。

(3) 同态保持幂运算

• 内容: $\varphi(g^n) = (\varphi(g))^n$ 对于所有整数 $n$。
• 理解: 先做 $n$ 次幂再映射，和先映射再做 $n$ 次幂，结果一样。
• 证明思路:
• 当 n 是正整数: 使用数学归纳法。
• 基础情况 $n=1$: $\varphi(g^1) = \varphi(g) = (\varphi(g))^1$，成立。
• 归纳步骤: 假设对 $n=k$ 成立，即 $\varphi(g^k) = (\varphi(g))^k$。
• 需证 $n=k+1$ 也成立: $\varphi(g^{k+1}) = \varphi(g^k \cdot g) = \varphi(g^k)\varphi(g)$ (同态性质) $= (\varphi(g))^k \varphi(g)$ (归纳假设) $= (\varphi(g))^{k+1}$。成立。
• 当 n=0: $\varphi(g^0) = \varphi(1_G) = 1_H$ (由性质1)。而 $(\varphi(g))^0 = 1_H$ (任何群元素的0次幂定义为单位元)。所以成立。
• 当 n 是负整数: 设 $n = -m$，其中 $m$ 是正整数。
• $\varphi(g^n) = \varphi(g^{-m}) = \varphi((g^m)^{-1})$
• $= (\varphi(g^m))^{-1}$ (由性质2)
• $= ((\varphi(g))^m)^{-1}$ (由正整数情况)
• $= (\varphi(g))^{-m} = (\varphi(g))^n$。成立。
• 综合起来，对所有整数 $n$ 都成立。

(4) 核是子群

• 内容: $\ker \varphi$ 是 $G$ 的一个子群。这是本命题中关于商群理论最核心的结论。
• 证明思路: 使用子群判别法（Subgroup Criterion）。要证明 $K$ 是 $G$ 的子群，只需证明：a) $K$ 非空；b) 对任意 $x, y \in K$，都有 $xy^{-1} \in K$。
• 非空: 根据性质(1)，$\varphi(1_G) = 1_H$，这意味着 $1_G \in \ker \varphi$。所以核至少包含单位元，非空。
• 闭包性: 设 $x, y$ 是 $\ker \varphi$ 中的任意两个元素。根据核的定义，有 $\varphi(x) = 1_H$ 和 $\varphi(y) = 1_H$。
• 我们要检验 $xy^{-1}$ 是否也在 $\ker \varphi$ 中。也就是要计算 $\varphi(xy^{-1})$ 看它是否等于 $1_H$。
• $\varphi(xy^{-1}) = \varphi(x) \varphi(y^{-1})$ (同态性质)
• $= \varphi(x) (\varphi(y))^{-1}$ (性质2)
• $= 1_H \cdot (1_H)^{-1}$ (代入 $x,y \in \ker\varphi$)
• $= 1_H \cdot 1_H = 1_H$。
• 因为 $\varphi(xy^{-1}) = 1_H$，所以 $xy^{-1} \in \ker \varphi$。
• 根据子群判别法，$\ker \varphi$ 是 $G$ 的一个子群。

(5) 像是子群

• 内容: $\text{im}(\varphi)$ 是 $H$ 的一个子群。
• 证明思路: 同样使用子群判别法。
• 非空: 根据性质(1)，$\varphi(1_G) = 1_H$，这意味着 $1_H \in \text{im}(\varphi)$。所以像非空。
• 闭包性: 设 $x, y$ 是 $\text{im}(\varphi)$ 中的任意两个元素。根据像的定义，存在 $a, b \in G$ 使得 $\varphi(a)=x$ 和 $\varphi(b)=y$。
• 我们要检验 $xy^{-1}$ 是否也在 $\text{im}(\varphi)$ 中。
• $xy^{-1} = \varphi(a) \cdot (\varphi(b))^{-1}$
• $= \varphi(a) \cdot \varphi(b^{-1})$ (性质2)
• $= \varphi(ab^{-1})$ (同态性质)。
• 因为 $a, b \in G$，且 $G$ 是群，所以 $ab^{-1}$ 也在 $G$ 中。
• 我们找到了 $G$ 中的一个元素 $ab^{-1}$，它被 $\varphi$ 映射到了 $xy^{-1}$。
• 根据像的定义，$xy^{-1} \in \text{im}(\varphi)$。
• 根据子群判别法，$\text{im}(\varphi)$ 是 $H$ 的一个子群。

1. 时机: 在证明了核是一个子群之后，作者认为时机已到，可以给出商群的第一个正式定义。
2. 定义要素:
   • 前提: 定义从一个已知的同态 $\varphi: G \to H$ 开始。
   • 核K: 这个同态的核被记为 $K$。即 $K = \ker \varphi$。
   • 名称: 定义的这个新群有两个名字：商群（Quotient Group）或因子群（Factor Group）。这两个词可以互换使用。
   • 符号: 它的标准符号是 $G/K$。
   • 读法: "$G$ 模 $K$" (G modulo K) 或 "$G$ mod $K$"。
3. 定义内容:
   • 元素: 商群 $G/K$ 的元素是什么？定义明确指出，其元素就是同态 $\varphi$ 的纤维。
   • 运算: 商群 $G/K$ 中的群运算是什么？定义回顾了我们之前讨论过的规则：
   • 设有两个元素（即两个纤维） $X = \varphi^{-1}(a)$ 和 $Y = \varphi^{-1}(b)$。
   • 它们的乘积 $X \cdot Y$ 被定义为 $\varphi^{-1}(ab)$，也就是元素 $ab$ 上方的那个纤维。
4. 总结: 这个定义将我们之前的所有讨论整合了起来，形成了一个完整的、虽然依赖于同态 $\varphi$ 的商群定义。它告诉我们，给定任何一个同态，我们都可以构造出一个新的群，这个群的元素是原群 $G$ 的一些子集（纤维），其运算结构完美地复制了同态的像 $\text{im}(\varphi)$。

1. 符号 $G/K$ 的第一层含义: 作者首先解释了符号 $G/K$ 的一层深刻含义。在这个新群 $G/K$ 中，原来 $G$ 中的、可能包含很多元素的核子群 $K$（即 $K=\ker \varphi$），现在被“捏”成了一个点，成为了 $G/K$ 这个群里唯一的单位元。
   • $K = \ker\varphi = \varphi^{-1}(1_H)$。
   • 在商群 $G/K$ 中，这个纤维 $K$ 就是单位元。
   • 所以，符号 $G/K$ 里的 /K，直观上就有把 $K$ “除掉”或者“看作1”的意思。
2. 符号 $G/K$ 的第二层含义: 接着，作者预告了即将到来的命题2的内容，来解释 $G/K$ 的另一层含义。
   • 预告: 命题2将证明，商群 $G/K$ 中的任何一个其他元素（即任何一个非核的纤维），都可以被看作是核子群 $K$ 的“平移”版本。
   • 类比: 这就像在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的例子中，单位元是 $n\mathbb{Z}$，而其他元素，如同余类 $\bar{a}$，就是 $a+n\mathbb{Z}$，即对 $n\mathbb{Z}$ 的平移。
   • 推广: 这个性质是普适的。任何一个纤维 $\varphi^{-1}(a)$，都可以表示成 $gK$（或 $Kg$）的形式，其中 $g$ 是这个纤维中的任意一个元素。这种 $gK$ 的形式，在几何上就是对集合 $K$ 的“平移”。
3. “商”的几何和代数解释: 基于以上两点，作者给出了“商群”这个名字的最终解释。
   • 折叠 (Collapsing): 构造 $G/K$ 的过程，可以想象成把整个子群 $K$ “折叠”成一个点（新的单位元），同时，所有与 $K$ “平行”的集合（即 $K$ 的那些“平移”版本）也各自被折叠成一个点。
   • 除以 (Dividing out): 这个词在代数上更精确。我们不是在做传统意义的除法，而是在做一个“模 $K$”的运算。就像在 $\mathbb{Z}$ 中“模 $n$”一样，如果两个数 $a, b$ 的差 $a-b$ 在 $n\mathbb{Z}$ 里，我们就视它们为等价。类似地，在群 $G$ 中，如果两个元素 $g_1, g_2$ 满足 $g_1 g_2^{-1} \in K$（或 $g_2^{-1}g_1 \in K$），我们就视它们为等价的。整个群 $G$ 就被这个基于 $K$ 的等价关系划分成了若干等价类，而这些等价类正是同态的纤维！
   • 结论: 商群 $G/K$ 的本质，就是由这个“模 $K$”的等价关系所产生的等价类构成的群。这就是“商”字的由来，它与整数除法中的“商”和“余数”分享着相同的哲学根源——分类与归纳。

[公式与符号逐字逐句拆解和推导（若本段含公式）]

本段为概念解释，无数学公式。

1. 点明当前定义的局限性: 作者首先回顾并指出了我们目前所学的商群定义的一个局限性：它依赖于一个外部的、明确给出的同态映射 $\varphi$ 和目标群 $H$。
   • 运算流程是：取两个纤维 $X_a, X_b$ -> 找到它们在 $H$ 中的像 $a, b$ -> 在 $H$ 中计算 $ab$ -> 找到 $ab$ 的原像 $\varphi^{-1}(ab)$ 作为结果。
   • 这个过程离不开 $\varphi$ 和 $H$，因此可以称之为“外源性”的定义。
2. 提出替代方案: 接着，作者提出了另一种定义运算的思路，这个思路我们在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的例子中已经见过了。
   • 替代方案: 直接根据纤维的代表元来定义乘法。
   • 优势:
   • 计算上更简单: 正如之前例子所展示的，直接对代表元进行运算通常比绕道 $H$ 更直接。
   • 概念上更独立: 这种定义方式不再需要明确地写出 $\varphi$ 和 $H$。我们只需要知道群 $G$ 和它的一个特殊子群——核 $K$ 就行了。
3. 铺设桥梁: 为了实现从“依赖$\varphi$”到“只依赖$K$”的转变，我们需要做的第一件事，就是证明：任何一个纤维，都可以完全由核 $K$ 来描述。
   • 目标: 证明任何纤维 $\varphi^{-1}(a)$ 都可以表示成核 $K = \ker\varphi$ 的“平移”的形式。
   • 类比: 在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的例子中，我们已经看到纤维 $\bar{a}$ 就是核 $n\mathbb{Z}$ 的平移 $a+n\mathbb{Z}$。
   • 预告: 下一个命题（命题2）就是要将这个在特定例子中观察到的现象，推广到任意的同态和任意的群。

[公式与符号逐字逐句拆解和推导（若本段含公式）]

本段为过渡性描述，无数学公式。

这个命题是本章的一个关键转折点，它精确地描述了任意一个纤维与核之间的结构关系。

1. 命题的设定:
   • 我们有一个同态 $\varphi: G \to H$。
   • 它的核是 $K = \ker\varphi$。
   • $X$ 是 $G/K$ 中的一个任意元素，即一个纤维。具体来说，它是 $H$ 中某个元素 $a$ 上方的纤维，所以 $X = \varphi^{-1}(a)$。
2. 命题的结论: 命题的结论分为两部分，但本质上说的是同一件事。
   • (1) 左陪集形式: 结论说，只要你从纤维 $X$ 中任意挑选一个元素 $u$，那么整个纤维 $X$ 就可以表示为集合 $\{uk \mid k \in K\}$。这个集合由 $u$ 左乘核 $K$ 中的每一个元素构成，我们把它记作 $uK$，称为 $K$ 的一个左陪集（left coset）。
   • (2) 右陪集形式: 同样地，整个纤维 $X$ 也可以表示为集合 $\{ku \mid k \in K\}$。这个集合记作 $Ku$，称为 $K$ 的一个右陪集（right coset）。
   • 核心思想: 这个命题说明，任何一个纤维，都是核K的陪集。而且，你可以用这个纤维里的任何一个元素作为这个陪集的“代表”。
3. 证明 (1) $X = uK$: 证明一个集合等式 $A=B$ 通常需要两步：证明 $A \subseteq B$ 和 $B \subseteq A$。
   • 第一步：证明 $uK \subseteq X$ (即证明 $u$ 乘以核里的任何元素，结果仍然在原来的纤维 $X$ 里)。
   • 设 $u \in X$。根据 $X$ 的定义，这意味着 $\varphi(u)=a$。
   • 从 $uK$ 中任取一个元素，它的形式是 $uk$，其中 $k \in K$。
   • 我们要证明 $uk \in X$。这等价于证明 $\varphi(uk)=a$。
   • 计算 $\varphi(uk)$:
   • $\varphi(uk) = \varphi(u)\varphi(k)$ (因为 $\varphi$ 是同态)
   • 因为 $k \in K=\ker\varphi$，所以 $\varphi(k)=1_H$。
   • 所以 $\varphi(uk) = \varphi(u) \cdot 1_H = \varphi(u)$。
   • 又因为 $u \in X$，所以 $\varphi(u)=a$。
   • 因此 $\varphi(uk)=a$。
   • 这表明 $uk$ 确实属于 $a$ 上方的纤维 $X$。所以 $uK \subseteq X$ 成立。
   • 第二步：证明 $X \subseteq uK$ (即证明纤维 $X$ 里的任何一个元素，都可以写成 $u$ 乘以核里的某个元素的形式)。
   • 设 $g$ 是纤维 $X$ 中的任意一个元素。这意味着 $\varphi(g)=a$。
   • 我们的目标是，要把 $g$ 写成 $u \cdot (\text{某个核里的元素})$ 的形式。
   • 我们来构造这个“核里的元素”。让它等于 $k = u^{-1}g$。
   • 现在需要验证我们构造的这个 $k$ 是不是真的在核 $K$ 里面。即验证 $\varphi(k)=1_H$。
   • 计算 $\varphi(k)$:
   • $\varphi(k) = \varphi(u^{-1}g) = \varphi(u^{-1})\varphi(g)$ (同态性质)。
   • $= (\varphi(u))^{-1} \varphi(g)$ (命题1的性质2)。
   • 因为 $u \in X$ 且 $g \in X$，所以 $\varphi(u)=a$ 且 $\varphi(g)=a$。
   • 所以 $\varphi(k) = a^{-1} \cdot a = 1_H$。
   • 这表明 $k=u^{-1}g$ 确实属于核 $K$。
   • 从 $k=u^{-1}g$ 出发，两边左乘 $u$，得到 $g = uk$。
   • 这表明 $g$ 可以被写成 $u$ 乘以核中元素 $k$ 的形式，因此 $g \in uK$。
   • 由于 $g$ 是 $X$ 中任意元素，所以 $X \subseteq uK$ 成立。
4. 结论: 综合两步，我们证明了 $X=uK$。证明(2) $X=Ku$ 的过程完全类似，只是在构造时变为 $k=gu^{-1}$，并进行相应的右乘操作。

1. 概念的泛化: 作者在这里做了一个重要的概念推广。命题2告诉我们，同态的纤维是一种形如 $uK$ 或 $Ku$ 的集合。现在，作者说，这种形式的集合 $gN$ 和 $Ng$ 是一个普遍的概念，可以对任何子群 $N$（不一定非得是核）来定义。
2. 引入悬念: 作者明确指出，虽然我们可以对任何子群 $N$ 定义陪集，但这并不意味着任何子群 $N$ 都能扮演核的角色。一个子群要成为某个同态的核，需要满足一个特殊的充要条件，这个问题我们“很快将确定”。这个特殊的条件就是正规性（normality）。
3. 给出陪集的正式定义:
   • 前提: 有一个群 $G$ 和它的任何一个子群 $N$（$N \le G$）。
   • 左陪集 (Left Coset): 对于 $G$ 中的任何一个元素 $g$，由 $g$ 代表的 $N$ 的左陪集，记作 $gN$，定义为集合 $\{gn \mid n \in N\}$。它是通过 $g$ 左乘 $N$ 中的每一个元素得到的新集合。
   • 右陪集 (Right Coset): 类似地，由 $g$ 代表的 $N$ 的右陪集，记作 $Ng$，定义为集合 $\{ng \mid n \in N\}$。
   • 陪集的代表元 (Representative): 任何一个属于某个陪集的元素，都被称为该陪集的代表元。例如，如果 $x \in gN$，那么 $x$ 就是 $gN$ 的一个代表元。我们很快会看到，用任何一个代表元来生成陪集，得到的都是同一个陪集。

这段话是对前面内容的回顾、总结和预告，旨在巩固新概念并引导接下来的讨论。

1. 回顾陪集代表元的性质:
   • 作者首先提醒我们，命题2已经隐含了一个重要事实：对于作为核的子群 $N$，如果 $g_1$ 属于陪集 $gN$，那么用 $g_1$ 作为代表生成的陪集 $g_1N$ 和原来的 $gN$ 是同一个集合。
   • 预告: 这个性质不仅仅对核成立，它对任何子群 $N$ 的陪集都成立。这个结论将在命题4中被正式证明。
   • 解释“代表元”: 这个性质的普适性，才使得“代表元”这个术语有了坚实的意义。一个陪集是一个整体，它里面的任何一个成员都有资格“代表”这个集体。
2. 符号和几何直观:
   • 加法群的符号: 对于加法群（如 $\mathbb{Z}, \mathbb{R}^n$），乘法陪集 $gN$ 和 $Ng$ 自然地写成加法形式 $g+N$ 和 $N+g$。
   • 几何直观: 作者强调，可以将左陪集 $gN$ 想象成将子群 $N$ 这个集合，通过左乘 $g$ 这个操作，在群空间中进行了一次“左平移”（left translation）。这为我们思考陪集提供了几何图像。
   • 与群作用的联系: 作者还顺便提到了陪集与群作用（Group Action）的深刻联系。这是一个更高级的视角，右陪集可以被看作是子群 $N$ 在 $G$ 上通过左乘作用时产生的轨道（orbit）。这个联系对于深入学习群论非常重要，但在这里只是作为补充知识提及。
3. 重新表述前面的核心结论:
   • 用新术语“陪集”来重新总结：命题2证明了同态的纤维就是其核的（左、右）陪集。
   • 因此，我们之前定义的商群 $G/K$，其元素就是核 $K$ 在 $G$ 中的所有左陪集的集合。
4. 引出下一个定理（定理3）:
   • 回顾与推广: 在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的例子里，我们发现商群的运算可以简单地通过对陪集的代表元进行运算来定义。
   • 提出问题: 这个美好的性质是否具有普遍性？对于一般的商群 $G/K$（目前我们还假设 $K$ 是某个同态的核），我们是否总能通过代表元的乘法来定义陪集的乘法？
   • 预告: 作者明确指出，下面的结果（定理3）将证明答案是肯定的。
   • 运算规则: 定理3将证明，要计算两个左陪集 $uK$ 和 $vK$ 的乘积，我们只需要：
5. 从 $uK$ 中任选一个代表元（比如 $u$）。
6. 从 $vK$ 中任选一个代表元（比如 $v$）。
7. 在 $G$ 中计算它们的乘积 $uv$。
8. 结果就是包含 $uv$ 的那个陪集，即 $(uv)K$。
   • 这个规则即 $(uK)(vK) = (uv)K$。

[公式与符号逐字逐句拆解和推导（若本段含公式）]

本段为总结和预告，无新的推导公式。

这个定理是本节前半部分的核心结论，它正式确立了基于代表元的陪集运算的合法性。

1. 定理的陈述:
   • 前提: 关键前提是：$K$ 必须是某个同态的核。我们还不能对任意子群下这个结论。
   • 研究对象: 由 $K$ 在 $G$ 中的所有左陪集构成的集合。
   • 定义的运算: 在这个陪集集合上，我们定义一个运算 o，规则是：$(uK) \circ (vK) := (uv)K$。这个定义的意思是：两个陪集的积，是通过将它们的代表元 $u$ 和 $v$ 在 $G$ 中相乘，然后取包含乘积 $uv$ 的那个陪集来得到的。
   • 主要结论: 在这个运算下，左陪集的集合构成一个群。这个群就是我们所说的商群 $G/K$。
2. 核心：良定义性 (Well-definedness)
   • 定理特别强调了这个运算是良定义的。这是什么意思？
   • 我们定义的运算 $(uK) \circ (vK) = (uv)K$ 表面上依赖于我们选择的代表元 $u$ 和 $v$。
   • 但一个陪集可以有很多个代表元。比如，如果 $u_1 \in uK$，那么 $u_1K = uK$。
   • 良定义性就是要保证：即使我们换了别的代表元，运算的结果仍然是同一个陪集。
   • 形式化地说：如果 $u_1 \in uK$ (即 $u_1K=uK$) 并且 $v_1 \in vK$ (即 $v_1K=vK$)，我们必须证明，用新代表元计算的结果 $(u_1v_1)K$ 和用旧代表元计算的结果 $(uv)K$ 是同一个陪集。即 $(u_1v_1)K = (uv)K$。
   • 根据后面命题4的结论（两个陪集相等当且仅当它们有一个公共元素），这等价于证明 $u_1v_1$ 属于陪集 $(uv)K$。
3. 证明思路 (在下一段展开): 定理的证明将回到同态的视角。因为我们已知 $K$ 是同态 $\varphi$ 的核，所以我们可以利用 $\varphi$ 来证明良定义性。
   • $u_1 \in uK$ 意味着 $u_1$ 和 $u$ 在同一个纤维里，即 $\varphi(u_1)=\varphi(u)$。
   • 同理，$\varphi(v_1)=\varphi(v)$。
   • 我们要证明 $u_1v_1$ 和 $uv$ 在同一个纤维里，即 $\varphi(u_1v_1) = \varphi(uv)$。
   • $\varphi(u_1v_1) = \varphi(u_1)\varphi(v_1)$ (同态性质)
   • $= \varphi(u)\varphi(v)$ (因为 $\varphi(u_1)=\varphi(u), \varphi(v_1)=\varphi(v)$)
   • $= \varphi(uv)$ (同态性质)。
   • 证明完毕。因为 $u_1v_1$ 和 $uv$ 映射到 $H$ 中的同一个元素，所以它们属于同一个纤维，也就是同一个陪集。因此运算是良定义的。
4. 对右陪集的推广: 定理最后指出，用右陪集 $Ku, Kv$ 来定义运算 $(Ku) \circ (Kv) = K(uv)$，结论同样成立。这是因为，当 $K$ 是同态的核时，我们从命题2知道，左陪集和右陪集是同一个东西 ($uK=Ku$)。

这部分是定理3的严格证明，并给出了一个辅助理解的图示。

1. 证明的 setup:
   • 设 $X, Y$ 是商群 $G/K$ 中的两个任意元素。根据定义，它们是 $K$ 的左陪集。
   • 根据定理的前提，$K$ 是某个同态 $\varphi: G \to H$ 的核。
   • 因此，我们可以把 $X, Y$ 看作是纤维。设 $X=\varphi^{-1}(a)$ 和 $Y=\varphi^{-1}(b)$。
   • 那么，根据商群的（基于同态的）运算定义，$X$ 和 $Y$ 的乘积 $Z=XY$ 就是纤维 $\varphi^{-1}(ab)$。
   • 现在，我们换到代表元的视角。设 $u$ 是 $X$ 的任意一个代表元， $v$ 是 $Y$ 的任意一个代表元。
   • 这意味着 $\varphi(u)=a$ 且 $\varphi(v)=b$。根据命题2，我们也有 $X=uK$ 和 $Y=vK$。
2. 证明的目标: 我们需要证明用代表元定义的运算 $(uK)(vK)=(uv)K$ 是合法的。这等价于证明，我们用同态方式定义的乘积 $Z=\varphi^{-1}(ab)$，和用代表元方式定义的乘积 $(uv)K$，是同一个陪集。要证明两个陪集相等，只需证明它们有一个公共元素即可。最直接的公共元素就是 $uv$。所以，证明目标简化为：证明元素 $uv$ 属于纤维 $Z=\varphi^{-1}(ab)$。
3. 核心推导:
   • 作者使用了一系列逻辑等价 ⇔ 来进行推导。
   • $uv \in Z$
   • ⇔ $uv \in \varphi^{-1}(ab)$ (因为 $Z$ 就是 $\varphi^{-1}(ab)$)
   • ⇔ $\varphi(uv) = ab$ (根据纤维 $\varphi^{-1}$ 的定义)
   • ⇔ $\varphi(u)\varphi(v) = ab$ (因为 $\varphi$ 是同态)
   • 最后一步 $\varphi(u)\varphi(v) = ab$ 成立吗？是的，因为我们设的就是 $\varphi(u)=a$ 和 $\varphi(v)=b$。
   • 结论: যেহেতু这个等价链的最后一步是真的，那么第一步 $uv \in Z$ 也必然是真的。
4. 完成证明:
   • 我们证明了 $uv \in Z$。这意味着陪集 $(uv)K$ 和陪集 $Z$ 有一个公共元素 $uv$。
   • 两个有公共元素的陪集必然是同一个陪集。所以 $(uv)K = Z$。
   • 这说明：用代表元 $u,v$ 算出的结果 $(uv)K$，和用同态 $\varphi$ 算出的结果 $Z=XY$，是完全一样的。
   • 因为 $u,v$ 是任意选择的代表元，所以这个结论对所有代表元都成立。这就证明了运算是良定义的。
   • 关于右陪集: 作者补充说，因为 $K$ 是同态的核，由命题2可知 $uK=Ku$ 对所有 $u$ 成立。所以关于左陪集的结论可以无缝推广到右陪集。
5. 图3的解释:
   • 图3是对代表元乘法的一个极佳的可视化。
   • 它展示了两个陪集 $uK$ 和 $vK$。
   • 运算过程：
6. 从陪集 $uK$ 中选一个代表元 $u$。
7. 从陪集 $vK$ 中选一个代表元 $v$。
8. 箭头指示将它们在群 $G$ 中相乘，得到元素 $uv$。
9. 这个元素 $uv$ 必然落在某个新的陪集里，这个陪集就是 $(uv)K$。
10. 这个新的陪集 $(uv)K$ 就是 $uK$ 和 $vK$ 的运算结果。
    • 图下方的 $\varphi$ 映射则展示了与同态视角的联系：$uK$ 映到 $a$，$vK$ 映到 $b$，而结果 $(uv)K$ 映到 $ab$。这张图完美地结合了两种视角。

1. 再次强调核心思想: 作者首先用更通俗的语言，再次强调了刚刚证明的定理3的核心——陪集的乘法结果不依赖于代表元的选择。
2. 描述运算过程:
   • 要计算两个陪集 $X$ 和 $Y$ 的乘积。
   • 步骤：从 $X$ 中任选一个代表 $u$，从 $Y$ 中任选一个代表 $v$。
   • 在原群 $G$ 中计算乘积 $uv$。
   • 结果就是包含 $uv$ 的那个陪集，即 $(uv)K$。
   • 这个过程被作者描述为“模 $K$ 约化”，这非常精准。我们只关心 $uv$ 最终落在了哪个“箱子”（陪集）里，而不关心它在箱子里的具体位置。
3. 引入简化符号: 为了书写方便，作者引入了一套简化符号系统，这套系统我们在学习 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 时已经很熟悉了。
   • 单个陪集的符号: 不再写繁琐的集合 $uK$，而是用 $\bar{u}$ 来表示。$\bar{u}$ 就代表“包含元素 $u$ 的那个陪集”。
   • 商群的符号: 整个商群 $G/K$ 有时也可以记作 $\bar{G}$。
   • 运算规则的符号: 使用新符号后，复杂的陪集运算 $(uK)(vK)=(uv)K$ 就被简化成了非常直观的形式：
4. 新符号的优点:
   • 简洁: $\bar{u}$ 比 $uK$ 或 $\varphi^{-1}(\varphi(u))$ 都简洁得多。
   • 直观: $\bar{u}\bar{v}=\overline{uv}$ 的形式非常符合直觉，它告诉我们商群中的运算就是先在原群中运算，然后再“取模”（画上一横）。
   • 强调元素身份: 作者指出，$\bar{u}$ 这个符号强调了陪集 $uK$ 是商群 $\bar{G}$ 中的一个“原子化”的元素，而不是一个复杂的集合。这有助于我们在思考商群时，把它当作一个普通的群，其元素就是这些带“bar”的东西。

本节通过几个具体例子，来巩固和应用前面建立的关于商群、核和同态的理论。

(1) 核心例子 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的总结

• 回顾: 作者首先回顾了本章的第一个、也是最重要的例子：从整数群 $\mathbb{Z}$ 到循环群 $Z_n$ 的同态 $\varphi(a)=x^a$。
• 连接概念:
• 纤维 = 陪集: 这个同态的纤维（即模n同余类 $\bar{a}$），被精确地识别为核 $K=n\mathbb{Z}$ 的陪集 $a+n\mathbb{Z}$。因为 $\mathbb{Z}$ 是阿贝尔群，所以左陪集和右陪集是相同的。
• 定理3的应用: 定理3保证了这些陪集在“代表元加法”这个运算下，确实构成一个群。
• 符号的解释: 这个由陪集 $a+n\mathbb{Z}$ 构成的群，其标准符号 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的由来就清晰了：它是群 $\mathbb{Z}$ “模掉”其子群 $n\mathbb{Z}$ 得到的商群。
• 重申同构: 最后，作者再次强调了第一同构定理的结论：这个商群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ “自然地”同构于同态 $\varphi$ 的像。因为 $\varphi$ 是满射，像就是整个 $Z_n$。因此，我们重新得到了一个在之前章节可能已经知道的重要结论：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong Z_n$。这展示了商群理论如何为已知的同构关系提供一个更深刻、更具构造性的解释。

(2) 同构下的商群 (最细粒度的商)

• 场景: 考虑一个同构 $\varphi: G \to H$。同构是一种特殊的同态，它既是单射又是满射。
• 计算核: 核 $\ker\varphi$ 是所有映射到 $H$ 的单位元 $1_H$ 的 $G$ 中元素的集合。因为 $\varphi$ 是单射（一对一），只有一个元素能映射到 $1_H$，而我们知道 $\varphi(1_G)=1_H$，所以这个元素只能是 $1_G$。因此，$\ker\varphi = \{1_G\}$，我们简记为 $1$。
• 描述纤维: 纤维是什么？因为 $\varphi$ 是单射，每个 $H$ 中的元素 $h$ 都只对应 $G$ 中唯一的一个元素。所以，每个纤维都只是一个只包含单个元素的集合。
• 商群 G/1: 这个商群的元素是 $G$ 中所有单元素子集的集合。
• 结论: $G/1 \cong G$。为什么？因为商群 $G/1$ 同构于 $\varphi$ 的像，而同构 $\varphi$ 是满射的，所以其像就是整个 $H$。又因为 $\varphi$ 是 $G$ 和 $H$ 之间的同构，所以 $G \cong H$。综上，$G/1 \cong \text{im}(\varphi) = H \cong G$。
• 直观理解: “模掉”一个只含单位元的子群，相当于没有做任何“折叠”或“模糊化”，所以得到的商群和原群在结构上是一样的。

(3) 平凡同态下的商群 (最粗粒度的商)

• 场景: 考虑一个从任意群 $G$ 到平凡群 $H=\{1\}$ 的同态。这个同态只能是 $\varphi(g)=1$ 对所有 $g \in G$ 都成立。这被称为平凡同态。
• 计算核: $H$ 的单位元就是 $1$。根据 $\varphi$ 的定义， $G$ 中的所有元素都被映射到 $1$。所以，$\ker\varphi = G$。
• 描述纤维: 这个同态只有一个纤维，就是 $\varphi^{-1}(1)=G$ 本身。
• 商群 G/G: 这个商群只有一个元素，就是集合 $G$。
• 结论: $G/G \cong \{1\}$ (即 $Z_1$)。为什么？商群 $G/G$ 同构于 $\varphi$ 的像。$\varphi$ 的像只包含元素 $1$，所以 $\text{im}(\varphi)=\{1\}$。因此 $G/G \cong \{1\}$。
• 直观理解: “模掉”整个群 $G$，相当于把所有元素都看作是等价的，将整个群“压扁”成一个点。得到的商群自然就是只含一个元素（单位元）的平凡群。

这个例子提供了一个非常几何化的视角来理解商群。

1. 场景设定:
   • 群 G: $G = \mathbb{R}^2 = \{(x,y) \mid x,y \in \mathbb{R}\}$，即二维笛卡尔平面上的所有点（向量），运算是向量加法。
   • 群 H: $H = \mathbb{R}$，即实数轴，运算是普通加法。
   • 同态 $\varphi$: 定义为 $\varphi((x,y)) = x$。这个映射取一个点的横坐标，丢弃其纵坐标。几何上，这相当于把平面上的所有点都“垂直投影”到 x 轴上。
2. 验证同态: 作者首先证明了这确实是一个同态。
   • $\varphi((x_1,y_1)+(x_2,y_2)) = \varphi((x_1+x_2, y_1+y_2)) = x_1+x_2$。
   • $\varphi((x_1,y_1)) + \varphi((x_2,y_2)) = x_1 + x_2$。
   • 两者相等，所以 $\varphi$ 是同态。它保持了向量加法在线性投影下的结构。
3. 计算核:
   • $\ker\varphi = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid \varphi((x,y))=0 \}$。
   • $H=\mathbb{R}$ 的单位元是加法单位元 $0$。
   • 所以 $\ker\varphi = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x=0 \}$。
   • 这个集合是所有横坐标为0的点，即 y轴。
   • 作者提醒我们注意，y轴确实是 $\mathbb{R}^2$ 的一个子群（它包含原点(0,0)，并且对向量加法和取反是封闭的）。
4. 计算纤维:
   • 我们计算任意实数 $a \in \mathbb{R}$ 上方的纤维 $\varphi^{-1}(a)$。
   • $\varphi^{-1}(a) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid \varphi((x,y))=a \} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x=a \}$。
   • 这个集合是所有横坐标为 $a$ 的点，即垂直于x轴的直线 $x=a$。
5. 纤维与陪集的关系:
   • 核是 y 轴。
   • 纤维是所有形如 $x=a$ 的垂直线。
   • 作者指出，每一条直线 $x=a$ 都可以看作是 核（y轴）的平移。
   • 具体来说，直线 $x=a$ 就是 y 轴上的每个点都加上一个向量 $(a,0)$ 的结果。
   • 所以，直线 $x=a$ 就是陪集 $(a,0) + y\text{-axis}$。
   • 用新符号 $\overline{(a,0)}$ 来代表这个陪集（这条直线）。
   • 更进一步，我们可以用这条直线上的任何一个点作为代表元。例如，点 $(a, y_1)$ 也在直线 $x=a$ 上，所以这条直线也可以表示为陪集 $(a, y_1) + y\text{-axis}$。
6. 图示解释 (图4):
   • 图4完美地展示了这个场景。
   • 群 G: 整个二维平面 $\mathbb{R}^2$。
   • 核 K: y轴（加粗显示）。
   • 纤维/陪集: 所有垂直于x轴的直线。图中画出了 $y$-axis, $(a,0)+y$-axis, $(b,0)+y$-axis 等。
   • 群 H: x轴 $\mathbb{R}$。
   • 同态 $\varphi$: 将平面上的每一点垂直投影到x轴上。
7. 商群运算的两种描述:
   • 商群 $\mathbb{R}^2 / (\text{y-axis})$ 的元素是所有垂直直线。
   • 方式1 (使用$\varphi$): （直线 $x=a$）+（直线 $x=b$）的结果是什么？
   • 它们的像分别是 $a$ 和 $b$。
   • 在 $H=\mathbb{R}$ 中，$a+b$ 就是 $a+b$。
   • 结果是 $a+b$ 的纤维，即直线 $x=a+b$。
   • 方式2 (使用代表元): （包含点 $(a,y_1)$ 的直线）+（包含点 $(b,y_2)$ 的直线）的结果是什么？
   • 取代表元 $(a,y_1)$ 和 $(b,y_2)$。
   • 在 $G=\mathbb{R}^2$ 中相加：$(a,y_1)+(b,y_2)=(a+b, y_1+y_2)$。
   • 结果是包含点 $(a+b, y_1+y_2)$ 的那条直线。
   • 横坐标为 $a+b$ 的点所在的垂直线，正是直线 $x=a+b$。
   • 良定义性: 作者特别指出，我们选择的代表元的 $y$ 坐标（$y_1, y_2$）完全不影响最终结果，因为结果只取决于横坐标的和。这再次从几何上验证了运算的良定义性。

这个例子非常重要，因为它首次展示了一个非阿贝尔群的商群。

1. 场景设定:
   • 群 G: $G = Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$，即四元数群。这是一个8阶非阿贝尔群。其乘法规则为 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$。
   • 群 H: $H = V_4 = \{1, a, b, c\}$，即克莱因四元群。这是一个4阶阿贝尔群。其乘法规则为 $a^2=b^2=c^2=1$ 且 $ab=c, bc=a, ca=b$。
   • 同态 $\varphi$: 定义了一个映射，将 $Q_8$ 中互为相反数的两个元素映到 $V_4$ 的同一个元素上。
   • $\pm 1 \mapsto 1$
   • $\pm i \mapsto a$
   • $\pm j \mapsto b$
   • $\pm k \mapsto c$
2. 同态验证: 作者将验证 $\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$ 的工作留作练习。这是一个繁琐但直接的验证。例如，我们验证一个：
   • 计算 $\varphi(i \cdot j)$: 在 $Q_8$ 中 $i \cdot j = k$。所以 $\varphi(i \cdot j) = \varphi(k) = c$。
   • 计算 $\varphi(i) \cdot \varphi(j)$: $\varphi(i)=a, \varphi(j)=b$。在 $V_4$ 中 $a \cdot b = c$。
   • 两者相等。需要对所有可能的组合都进行验证。作者提示利用对称性可以简化工作。
3. 分析同态:
   • 满射性: $\varphi$ 是满射的，因为 $V_4$ 中的每个元素 $1,a,b,c$ 都是某个 $Q_8$ 中元素的像。
   • 计算核: $\ker\varphi = \{g \in Q_8 \mid \varphi(g)=1\}$。根据定义，只有 $\pm 1$ 映射到 $V_4$ 的单位元 $1$。所以 $\ker\varphi = \{\pm 1\}$。这个核恰好是 $Q_8$ 的中心 $Z(Q_8)$。
4. “绝对值函数”的类比: 作者提供了一个很好的直觉：可以把这个 $\varphi$ 看作是 $Q_8$ 上的“绝对值”或“取符号”函数，它忽略了每个元素的正负号。
5. 计算纤维:
   • $1 \in V_4$ 的纤维是 $\varphi^{-1}(1) = \{\pm 1\}$。我们称之为集合 $E$。
   • $a \in V_4$ 的纤维是 $\varphi^{-1}(a) = \{\pm i\}$。我们称之为集合 $A$。
   • $b \in V_4$ 的纤维是 $\varphi^{-1}(b) = \{\pm j\}$。我们称之为集合 $B$。
   • $c \in V_4$ 的纤维是 $\varphi^{-1}(c) = \{\pm k\}$。我们称之为集合 $C$。
6. 商群与纤维的关系:
   • 商群 $Q_8 / \{\pm 1\}$ 的元素就是这四个纤维 $E, A, B, C$。
   • 由于商群同构于像，所以 $Q_8 / \{\pm 1\} \cong \text{im}(\varphi) = V_4$。
   • 这个同构关系意味着，这四个纤维的集合，在陪集乘法下，其运算结构与克莱因四元群 $V_4$ 完全一样。
   • 例如，计算 $A \cdot B$：
   • 在 $V_4$ 中，$a \cdot b = c$。
   • 所以 $A \cdot B = C$。
   • 用代表元验证：从 $A$ 中取 $i$，从 $B$ 中取 $j$。$i \cdot j = k$。$k$ 在哪个纤维里？在 $C=\{\pm k\}$ 里。结果吻合。
7. 纤维与陪集:
   • 作者最后明确指出，这些纤维就是核 $K=\{\pm 1\}$ 的陪集。
   • 例如，纤维 $A=\{\pm i\}$。取代表元 $i$。
   • 左陪集: $iK = i \cdot \{\pm 1\} = \{i \cdot 1, i \cdot (-1)\} = \{i, -i\} = A$。
   • 右陪集: $Ki = \{\pm 1\} \cdot i = \{1 \cdot i, (-1) \cdot i\} = \{i, -i\} = A$。
   • 在这个例子中，左陪集和右陪集相等。这再次验证了命题2的结论：同态的纤维总是等于其核的（相等的）左、右陪集。

这一段是本章一个极其重要的转折点，它将我们从“已知同态”的舒适区，推向了更一般、更核心的问题。

1. 回顾已有成果: 作者首先总结了定理3的重大意义：只要我们能保证一个子群 $K$ 是某个同态的核，那么我们就可以抛开那个同态，直接用公式 $(uK)(vK)=(uv)K$ 来定义一个合法的商群 $G/K$。这给了我们一个“内蕴”的构造方法。
2. 提出核心问题: 这个成果自然地引出了一个更宏大、更基本的问题：这个方法是否对任何子群 $N$ 都适用？也就是说，给定群 $G$ 和它的任意一个子群 $N$，我们是否总能用公式 $(uN)(vN)=(uv)N$ 来定义一个商群 $G/N$？
3. 给出否定答案: 作者立刻给出了答案：一般来说是否定的。这是因为对于一个任意的子群 $N$，这种通过代表元定义的乘法，通常不是良定义的。
   • 我们在之前的例子（$S_3$ 和子群 $\{e, (12)\}$）中已经亲手验证了这一点：换用不同的代表元，会导致完全不同的运算结果。
   • 作者预告，命题5将从理论上揭示这种运算良定义的充要条件。
4. 揭示问题本质: 作者进一步深入，指出了问题的本质所在。
   • 预告命题7: 事实比想象的更深刻。不仅仅是这个特定的运算定义行不通，而是根本不可能在任意子群 $N$ 的陪集上定义一个“自然”的群结构，除非这个 $N$ 满足一个特殊条件。这个特殊条件就是：$N$ 必须是某个同态的核。
   • 逻辑闭环: 这形成了一个完美的逻辑闭环：
   • 我们从同态出发，发现了核 $K$ 和它的陪集。
   • 我们证明了 $K$ 的陪集可以构成商群 $G/K$。
   • 现在我们发现，只有当一个子群 $N$ “有资格”成为某个同态的核时，它的陪集才能构成商群。
5. 引入新概念“正规子群”:
   • 那么，一个子群 $N$ 何时才有资格成为同态的核呢？这必然是 $N$ 自身需要满足的一个内蕴性质。
   • 作者在这里正式引入了这个即将成为本章主角的概念：正规子群（Normal Subgroup）。
   • 正规子群就是那些“表现良好”的、其陪集可以构成商群的特殊子群。正规子群的定义，将是判断陪集乘法是否良定义的那个充要条件。

[公式与符号逐字逐句拆解和推导（若本段含公式）]

本段为概念阐述和逻辑转换，无数学公式。

1. 证明的起点: 在探讨陪集乘法是否良定义这个核心问题之前，我们需要先建立一个关于陪集本身的最基本性质。这个性质与乘法无关，只与集合的结构有关。
2. 核心论断: 论断是：对于任意子群 $N \le G$，由 $N$ 产生的所有左陪集（或所有右陪集）构成了对整个群 $G$ 的一个划分（Partition）。
3. “划分”的含义: 作者明确解释了数学上“划分”的两个条件：
   • 并集是全体 (Union is the whole set): 把所有不同的陪集都合并起来，其结果不多不少，正好是整个群 $G$。这意味着 $G$ 中的每一个元素都至少属于一个陪集。
   • 交集为空 (Intersection is empty): 任意两个不同的陪集，它们之间没有任何共同的元素。换句话说，一个元素不可能同时属于两个不同的陪集。
4. 这个性质的重要性:
   • 普适性: 这个性质对任何子群都成立，无论它是否正规。这是一个非常强大和基础的结论。
   • 结构基础: 它告诉我们，任何一个子群 $N$ 都能像一把“梳子”一样，把整个群 $G$ 分解成一堆大小相等（我们将在拉格朗日定理中学到）、互不相交的“块”（陪集）。
   • 与等价类的关系: 实际上，一个集合的划分与在该集合上定义一个等价关系是等价的。这里的陪集划分，对应的等价关系是：$a \sim b \iff a^{-1}b \in N$。$a$ 和 $b$ 等价，当且仅当它们在同一个左陪集里。

这个命题正式陈述了上一段提到的陪集划分性质，并给出了一个判断两个陪集何时相等的极其重要的代数判据。

1. 第一部分：划分性质
   • 内容: “$N$ 在 $G$ 中的左陪集集合构成 $G$ 的一个划分。”
   • 解释: 这就是我们刚才讨论的，所有左陪集 $\{gN \mid g \in G\}$ 的集合，满足并集为 $G$ 且两两交集为空。
   • 注意: 命题只提了左陪集，但对右陪集也同样成立。
2. 第二部分：陪集相等的判据
   • 内容: “对于所有 $u, v \in G$，$uN=vN$ 当且仅当 $v^{-1}u \in N$。”
   • 含义: 这是一个当且仅当（if and only if）的陈述，意味着它是一个等价条件，非常强大。它告诉我们，要判断两个陪集 $uN$ 和 $vN$ 是否是同一个集合，我们不需要去比较它们里面所有的无穷或有限个元素。我们只需要做一个简单的代数计算：计算 $v^{-1}u$。如果这个计算结果在子群 $N$ 里面，那么这两个陪集就相等；如果不在，它们就不相等。
   • 记忆技巧: 可以把 $v^{-1}u \in N$ 非正式地看作 $u$ 和 $v$ “模 $N$” 同余。从 $v^{-1}u = n \in N$ 可以得到 $u = vn$。这很像在说 "$u$ 是 $v$ 右乘一个 $N$ 里的元素得到的"，所以它们应该在同一个“类别”里。
3. 第三部分：用代表元来解释判据
   • 内容: “特别地，$uN=vN$ 当且仅当 $u$ 和 $v$ 是同一陪集的代表元。”
   • 解释: 这实际上是第二部分判据的一个更直观的说法。
   • 什么是“$u$ 和 $v$ 是同一陪集的代表元”？这意味着 $u$ 和 $v$ 都属于某一个共同的陪集。比如说，它们都属于陪集 $X$。
   • 如果 $u \in X$，那么根据我们即将证明的性质，$X=uN$。
   • 如果 $v \in X$，那么 $X=vN$。
   • 因此， $uN=vN$。
   • 反过来，$uN=vN$ 意味着 $u$ 在 $vN$ 里（因为 $u=ue \in uN=vN$），$v$ 也在 $uN$ 里。所以它们确实在同一个陪集里。
   • 这个说法虽然直观，但在实际计算中，还是 $v^{-1}u \in N$ 这个代数判据更有用。

这部分是命题4的完整证明，分为两个主要部分：证明划分性质，和证明相等判据。

第一部分：证明划分 (Partition)

要证明左陪集构成对 $G$ 的一个划分，需要证明两点：

1. 并集覆盖全集 (Union covers G)
   • 思路: 我们需要证明 $G$ 中的任何一个元素 $g$，都至少属于一个左陪集。
   • 证明:
   • 因为 $N$ 是一个子群，所以它必须包含单位元 $1$。
   • 对于 $G$ 中任意一个元素 $g$，我们可以把它写成 $g = g \cdot 1$。
   • 由于 $1 \in N$，所以 $g \cdot 1$ 这个元素根据左陪集 $gN = \{gn \mid n \in N\}$ 的定义，必然属于 $gN$。
   • 这就证明了，任何元素 $g$ 都属于它自己所代表的那个陪集 $gN$。
   • 因此，所有左陪集的并集 $\bigcup_{g \in G} gN$ 必然包含了 $G$ 的所有元素，即 $G = \bigcup_{g \in G} gN$。
2. 不同陪集交集为空 (Disjoint or Identical)
   • 思路: 我们需要证明，任意两个左陪集 $uN$ 和 $vN$，它们要么是完全相同的集合，要么是没有任何交集的。不可能出现部分重叠的情况。
   • 证明:
   • 证明这个性质的标准方法是：假设它们有交集，然后证明它们必然相等。
   • 假设 $uN$ 和 $vN$ 的交集不是空集，即 $uN \cap vN \neq \emptyset$。
   • 这意味着，至少存在一个元素 $x$ 同时属于 $uN$ 和 $vN$。
   • 根据陪集定义，$x \in uN$ 意味着 $x = un_1$ 对于某个 $n_1 \in N$。
   • $x \in vN$ 意味着 $x = vn_2$ 对于某个 $n_2 \in N$。
   • 所以我们有 $un_1 = vn_2$。
   • 现在我们的目标是从这个等式出发，证明 $uN=vN$。证明集合相等，需要证明 $uN \subseteq vN$ 和 $vN \subseteq uN$。
   • 证明 $uN \subseteq vN$:
   • 从 $un_1 = vn_2$ 两边右乘 $n_1^{-1}$，得到 $u = vn_2n_1^{-1}$。
   • 因为 $n_1, n_2 \in N$，且 $N$ 是子群，所以 $n_2n_1^{-1}$ 也在 $N$ 中。我们记这个新元素为 $n_3 = n_2n_1^{-1}$。
   • 于是我们得到 $u = vn_3$，其中 $n_3 \in N$。这个关系是关键，它把代表元 $u$ 和 $v$ 联系了起来。
   • 现在，我们从 $uN$ 中任取一个元素，它的形式是 $un_4$，其中 $n_4 \in N$。
   • 将 $u=vn_3$ 代入：$un_4 = (vn_3)n_4 = v(n_3n_4)$。
   • 因为 $n_3, n_4 \in N$，所以它们的积 $n_3n_4$ 也在 $N$ 中。
   • 因此，$un_4$ 可以被写成 $v$ 乘以 $N$ 中某个元素的形式，这意味着 $un_4 \in vN$。
   • 由于 $un_4$ 是 $uN$ 中任意元素，这就证明了 $uN \subseteq vN$。
   • 证明 $vN \subseteq uN$: 证明过程完全对称。从 $un_1 = vn_2$ 两边右乘 $n_2^{-1}$，可以得到 $v$ 和 $u$ 的关系，然后用同样方法可证 $vN \subseteq uN$。
   • 结论: 既然 $uN \subseteq vN$ 且 $vN \subseteq uN$，那么 $uN=vN$。
   • 最终结论: 只要两个陪集有任何一个公共元素，它们就必须是同一个集合。这等价于说，两个不同的陪集交集必为空。

第二部分：证明相等判据

1. 证明 $uN=vN \iff v^{-1}u \in N$:
   • ($\Rightarrow$) 方向: 假设 $uN=vN$。我们要证明 $v^{-1}u \in N$。
   • 因为 $u = u \cdot 1 \in uN$，所以 $u$ 也必然在 $vN$ 中。
   • 根据 $vN$ 的定义，$u \in vN$ 意味着存在某个 $n \in N$ 使得 $u=vn$。
   • 两边左乘 $v^{-1}$，得到 $v^{-1}u = n$。
   • 因为 $n \in N$，所以我们证明了 $v^{-1}u \in N$。
   • ($\Leftarrow$) 方向: 假设 $v^{-1}u \in N$。我们要证明 $uN=vN$。
   • 设 $v^{-1}u = n$，其中 $n \in N$。
   • 两边左乘 $v$，得到 $u=vn$。
   • 现在我们有了 $u$ 和 $v$ 的关系。这和我们刚才在证明划分性质时得到的中间步骤 $u=vn_3$ 是完全一样的。
   • 从 $u=vn$，我们可以用完全相同的逻辑证明 $uN \subseteq vN$。
   • 同时，从 $v^{-1}u=n$ 可以得到 $u^{-1}v = (v^{-1}u)^{-1} = n^{-1}$。因为 $N$ 是子群，$n^{-1} \in N$。令 $v=um$（其中$m=n^{-1}$），用对称的逻辑可以证明 $vN \subseteq uN$。
   • 因此，$uN=vN$。
2. 证明与“同一陪集的代表元”等价:
   • 这段是把代数判据翻译成集合语言。
   • $u, v$ 是同一陪集的代表元 $\iff$ 存在一个陪集 $X$ 使得 $u \in X$ 且 $v \in X$。
   • $\iff u \in vN$ (因为 $v \in X \implies X=vN$)
   • $\iff u = vn$ 对于某个 $n \in N$ (根据 $vN$ 的定义)
   • $\iff v^{-1}u \in N$ (两边左乘 $v^{-1}$)
   • $\iff uN=vN$ (根据刚刚证明的判据)。
   • 这个逻辑链条证明了所有这些说法都是等价的。

这个命题是本章的第一个高潮，它给出了我们在任意子群的陪集上定义群运算所面临的那个“拦路虎”的精确描述。

(1) 良定义性的充要条件

• 内容: 命题的第一部分说，我们尝试定义的陪集乘法 $(uN)(vN)=(uv)N$ 是良定义的，当且仅当一个特定的代数条件成立。
• 这个条件是: 对于 $G$ 中所有的元素 $g$，以及 $N$ 中所有的元素 $n$，计算 $gng^{-1}$ 的结果必须仍然在子群 $N$ 里面。
• 这个表达式 $gng^{-1}$ 叫做 $n$ 的共轭 (conjugate of n by g)。
• 所以这个条件可以读作：子群 $N$ 必须在被 $G$ 的任何元素共轭之后仍然保持不变（集合意义上）。即对于所有 $g \in G$，集合 $gNg^{-1} = \{gng^{-1} \mid n \in N\}$ 必须等于 $N$。但在这里，条件被写成了更弱但等价的 $gng^{-1} \in N$ for all $n \in N$（对于有限群或正规子群的定义来说是等价的）。
• 意义: 这个条件就是我们一直在寻找的，区分“好子群”（可以构造商群）和“坏子群”的试金石。这个条件就是正规性的定义。

(2) 良定义后的结果

• 内容: 如果运算是良定义的（即条件(1)成立），那么这个陪集集合在这个运算下就真的构成一个群。
• 群公理的验证:
• 结合律: $(uN)(vN)(wN)$ 可以被直接验证，因为底层的 $G$ 的运算是结合的。($(uN)(vN))(wN) = (uv)N(wN) = ((uv)w)N = (u(vw))N = (uN)(vwN) = (uN)((vN)(wN))$。
• 单位元: 单位元就是陪集 $1N=N$。因为 $(gN)(1N)=(g\cdot1)N=gN$，以及 $(1N)(gN)=(1\cdot g)N=gN$。
• 逆元: 陪集 $gN$ 的逆元是陪集 $g^{-1}N$。因为 $(gN)(g^{-1}N)=(gg^{-1})N = 1N=N$（单位元），以及 $(g^{-1}N)(gN)=(g^{-1}g)N=1N=N$。
• 总结: 这一部分是说，一旦良定义性这个最难的坎被迈过去，剩下的群公理验证都是水到渠成的，它们的美好性质都直接“继承”自原群 $G$。

这部分是命题5的严谨证明，是理解正规子群核心作用的关键。

证明(1): 良定义性 $\iff$ 正规性条件

这是一个双向证明 (if and only if)。

($\Rightarrow$) 方向：假设运算良定义，证明 $gng^{-1} \in N$

• 思路: 这个方向的证明非常巧妙。它利用了良定义性这个强大的假设，通过精心挑选代表元来“榨取”出我们想要的信息。
• 前提: 运算是良定义的。这意味着，只要 $u_1$ 和 $u$ 在同一个陪集里，$v_1$ 和 $v$ 在同一个陪集里，那么 $(u_1v_1)N$ 就必须等于 $(uv)N$。
• 构造: 我们想证明的是关于任意 $g \in G$ 和 $n \in N$ 的性质。所以要把 $g$ 和 $n$ “塞进”良定义的假设里。
• 令 $u=1, u_1=n$。因为 $n \in N=1N$，所以 $1$ 和 $n$ 确实在同一个陪集 $1N$ 中。
• 令 $v=g^{-1}, v_1=g^{-1}$。显然 $g^{-1}$ 和 $g^{-1}$ 在同一个陪集 $g^{-1}N$ 中。
• 应用假设: 将这些选好的代表元代入良定义性的条件中：
• $(u_1v_1)N = (uv)N$
• $(n g^{-1})N = (1 g^{-1})N$
• 即 $ng^{-1}N = g^{-1}N$。
• 推导: 这两个陪集相等意味着什么？根据命题4，这意味着元素 $ng^{-1}$ 属于陪集 $g^{-1}N$。
• 根据陪集的定义，$ng^{-1} \in g^{-1}N$ 意味着存在某个元素 $n_1 \in N$ 使得 $ng^{-1} = g^{-1}n_1$。
• 现在，为了得到我们想要的 $gng^{-1}$ 形式，在等式 $ng^{-1} = g^{-1}n_1$ 两边同时左乘 $g$。
• $g(ng^{-1}) = g(g^{-1}n_1)$
• $(gn)g^{-1} = (gg^{-1})n_1$ (结合律)
• $gng^{-1} = 1 \cdot n_1 = n_1$。
• 结论: 我们证明了 $gng^{-1} = n_1$，而 $n_1$ 是 $N$ 中的一个元素。所以 $gng^{-1} \in N$。由于 $g$ 和 $n$ 是任意选取的，所以这个结论对所有 $g \in G, n \in N$ 都成立。

($\Leftarrow$) 方向：假设 $gng^{-1} \in N$，证明运算良定义

• 思路: 这个方向更直接。我们从条件出发，对任意选取的代表元进行代数运算，证明它们的结果落在同一个陪集里。
• 前提: 对于所有 $g \in G, n \in N$，都有 $gng^{-1} \in N$。
• 目标: 证明运算是良定义的。即，设 $u_1 \in uN$ 且 $v_1 \in vN$，我们需要证明 $(u_1v_1)N = (uv)N$。
• 设置:
• $u_1 \in uN$ 意味着 $u_1 = un$ 对于某个 $n \in N$。
• $v_1 \in vN$ 意味着 $v_1 = vm$ 对于某个 $m \in N$。
• 计算: 我们来计算乘积 $u_1v_1$。
• $u_1v_1 = (un)(vm)$。
• 这里的难点在于 $n$ 和 $v$ 的位置不对，我们没法直接合并。证明的关键一步，是通过插入一个 $v v^{-1}$ 来“交换” $n$ 和 $v$ 的顺序。这个技巧在群论中非常常用。
• $u_1v_1 = u(n)v(m) = u(v v^{-1}) n v m$
• $= (uv)(v^{-1}nv)m$ (利用结合律重新组合)。
• 应用假设:
• 现在看括号里的部分 $(v^{-1}nv)$。它的形式正好是我们的前提条件！
• 令 $g=v^{-1}$，那么 $(v^{-1})n(v^{-1})^{-1} = v^{-1}nv$。因为 $v^{-1} \in G, n \in N$，所以根据假设，$v^{-1}nv$ 的结果必须在 $N$ 中。我们记这个新元素为 $n_1 = v^{-1}nv \in N$。
• 代入回去：$u_1v_1 = (uv)(n_1)m$。
• 推导:
• 因为 $n_1 \in N$ 且 $m \in N$，并且 $N$ 是一个子群，所以它对乘法是封闭的。因此 $n_1m \in N$。
• 我们记这个最终的元素为 $n_2 = n_1m \in N$。
• 于是我们得到了 $u_1v_1 = (uv)n_2$。
• 结论:
• 这个等式 $u_1v_1 = (uv)n_2$ 表明 $u_1v_1$ 是通过 $uv$ 右乘一个 $N$ 里的元素得到的。根据陪集相等的判据（$u=vn \iff uN=vN$），这意味着 $u_1v_1$ 和 $uv$ 在同一个左陪集中。
• 更直接地说，陪集 $(u_1v_1)N$ 和 $(uv)N$ 都包含了元素 $u_1v_1$ (因为 $u_1v_1 = u_1v_1 \cdot 1$)。
• 根据命题4，两个有公共元素的陪集必须是同一个陪集。
• 因此 $(u_1v_1)N = (uv)N$。
• 这就证明了运算结果与代表元的选择无关，即运算是良定义的。

证明(2): 良定义 $\Rightarrow$ 群结构

• 这部分比较简单，因为最难的良定义性已经保证了。
• 结合律: 如原文所示，$( (uN)(vN) )(wN) = ((uv)N)(wN) = ((uv)w)N$，而 $(uN)( (vN)(wN) ) = (uN)((vw)N) = (u(vw))N$。因为在 $G$ 中 $(uv)w=u(vw)$，所以商群的运算也是结合的。
• 单位元: 陪集 $1N=N$ 扮演了单位元的角色，因为 $(gN)(1N)=(g\cdot 1)N = gN$。
• 逆元: 陪集 $gN$ 的逆元是 $g^{-1}N$，因为 $(gN)(g^{-1}N)=(gg^{-1})N = 1N=N$。
• 所有群公理都满足，因此陪集集合构成一个群。

这一段正式引入了本章的核心概念：正规子群。

1. 命名的动机: 作者首先明确指出，我们要命名的，正是命题5中筛选出的那种“好”子群——那些能让陪集乘法良定义，从而能构造商群的子群。
2. 定义1：共轭 (Conjugate)
   • 单个元素的共轭: 对于一个元素 $n$ 和另一个元素 $g$，表达式 $gng^{-1}$ 有一个专门的名字，叫做 “$n$ by $g$ 的共轭”。这是一种非常重要的群作用。
   • 子群的共轭: 相应地，集合 $gNg^{-1} = \{gng^{-1} \mid n \in N\}$ 就是子群 $N$ 的共轭。它是通过用 $g$ 共轭 $N$ 中的每一个元素得到的新集合。可以证明，$gNg^{-1}$ 本身也总是 $G$ 的一个子群，并且与 $N$ 同构。
3. 定义2：正规化 (Normalize)
   • 如果一个元素 $g$ 对子群 $N$ 的共轭操作，得到的结果还是 $N$ 本身（即集合 $gNg^{-1}$ 和集合 $N$ 完全相等），那么我们就说元素 $g$ 正规化 (normalizes) 子群 $N$。
   • 所有能正规化 $N$ 的 $g$ 构成的集合，被称为 $N$ 在 $G$ 中的正规化子 (Normalizer)，记作 $N_G(N)$。
4. 定义3：正规子群 (Normal Subgroup)
   • 核心定义: 如果群 $G$ 中的每一个元素 $g$ 都能正规化子群 $N$，那么 $N$ 就被称为 $G$ 的一个正规子群。
   • 代数条件: 这个定义翻译成代数语言就是：对于所有的 $g \in G$，都必须有 $gNg^{-1}=N$。
   • 与命题5的关系: 命题5的条件是 $gng^{-1} \in N$ 对所有 $g,n$ 成立。这等价于说 $gNg^{-1} \subseteq N$ 对所有 $g$ 成立。对于有限群，子集关系和相等价。对于无限群，可以证明这也等价于 $gNg^{-1}=N$（因为我们也可以用 $g^{-1}$ 去共轭，得到 $g^{-1}N(g^{-1})^{-1} = g^{-1}Ng \subseteq N$，从而 $N \subseteq gNg^{-1}$）。所以，这个定义和命题5的条件是等价的。
5. 符号:
   • 正规子群有一个特殊的符号：$N \unlhd G$。这个三角形符号表示 "$N$ is a normal subgroup of $G$”。它比普通的子群符号 $N \le G$ 更强。

1. 重申核心思想: 作者在这里再次强调了本章开头提出的一个核心思想：商群的结构反映了原群 $G$ 的结构。
2. 给出具体例子: 为了使这个论断不那么空泛，作者给出了两个具体的例子来说明这种“反映”或“继承”关系。
   • 结合性: 商群 $G/N$ 的乘法之所以满足结合律，即 $(\bar{u}\bar{v})\bar{w} = \bar{u}(\bar{v}\bar{w})$，其根本原因在于原群 $G$ 的乘法满足结合律 $(uv)w = u(vw)$。我们在命题5的证明(2)中已经看到了这个推导过程。商群的结合律是“寄生”在原群的结合律之上的。
   • 逆元: 商群中一个元素 $\bar{g}$ 的逆元是 $\overline{g^{-1}}$，即 $(\bar{g})^{-1} = \overline{g^{-1}}$。这也说明，商群中的求逆操作，本质上是由原群 $G$ 中的求逆操作决定的。
3. 预告后续内容: 作者指出，这种深刻的联系将在后续的第3节（实际上应该是本章的后续部分，比如第3.3节）中通过同构定理（Isomorphism Theorems）得到更全面、更深刻的阐述。
   • 同构定理是群论的“宪法”之一，它们精确地揭示了子群、正规子群、商群和同态这几个核心概念之间密不可分的定量关系。
   • 例如，第一同构定理 ($G/\ker\varphi \cong \text{im}(\varphi)$) 我们已经接触了其思想。
   • 格同构定理（或称第四同构定理）将精确地说明 $G/N$ 的子群结构与 $G$ 中包含 $N$ 的那些子群的结构之间存在一一对应关系。这正是本章开头提到的商群的子群格反映在 $G$ 的格的“顶部”的精确含义。

这个定理是本章的一个重要枢纽，它将正规子群的多种不同“面貌”联系在一起，告诉我们它们本质上是同一件事。理解这个定理，意味着可以从不同角度来判断和运用正规子群。

(1) $N \unlhd G$ (定义)

• 内容: 这是正规子群的符号。
• 解释: 这只是一个符号表示，其定义就是下面的某个等价条件，通常以 $gNg^{-1}=N$ 作为定义。

(2) $N_G(N) = G$ (正规化子视角)

• 回顾: $N$ 在 $G$ 中的正规化子 $N_G(N)$，是 $G$ 中所有能正规化 $N$ 的元素的集合，即 $N_G(N) = \{g \in G \mid gNg^{-1}=N\}$。它本身是 $G$ 的一个子群。
• 等价条件: 这个条件说，$N$ 是正规子群，等价于 $G$ 中的所有元素都在 $N$ 的正规化子里，即 $N$ 的正规化子就是整个群 $G$。
• 理解: 这个说法非常直观。正规化子是“朋友”的集合，正规子群就是那个“人缘超好”，群里的所有人都是它“朋友”的子群。

(3) $gN = Ng$ (陪集视角)

• 内容: 对于所有 $g \in G$，由 $g$ 代表的左陪集 $gN$ 必须等于由 $g$ 代表的右陪集 $Ng$。
• 理解: 这个条件是从陪集的几何形状来描述正规性的。它要求子群 $N$ 对于任何元素的“左平移”和“右平移”的结果都是一样的。这是一种高度的对称性。
• 重要性: 这个条件非常常用。在很多证明中，如果知道 $N$ 正规，就可以自由地将 $g$ 从 $N$ 的左边移动到右边（$gn = n'g$ for some $n' \in N$），这极大地便利了计算。

(4) 陪集构成群 (商群视角)

• 内容: 在左陪集集合上定义的运算 $(uN)(vN)=(uv)N$ 是良定义的，并且使得这个集合成为一个群。
• 理解: 这个条件是从商群构造的角度来描述正规性的。它说，一个子群是正规的，等价于说它就是那种可以用来成功构造商群的“好”子群。
• 与命题5的联系: 这实际上就是命题5结论的复述。命题5证明了(4)和(5)是等价的。

(5) $gNg^{-1} \subseteq N$ (单向包含条件)

• 内容: 对于所有 $g \in G$，子群 $N$ 在 $g$ 下的共轭 $gNg^{-1}$ 必须是 $N$ 的一个子集。
• 与定义 $gNg^{-1}=N$ 的关系:
• $gNg^{-1}=N$ 显然蕴含了 $gNg^{-1} \subseteq N$。
• 反过来，如果 $gNg^{-1} \subseteq N$ 对所有 $g \in G$ 都成立，那么我们也可以把它应用到 $g^{-1}$ 上：$(g^{-1})N(g^{-1})^{-1} = g^{-1}Ng \subseteq N$。
• 对于后一个包含关系 $g^{-1}Ng \subseteq N$，我们两边左乘 $g$，右乘 $g^{-1}$，得到 $g(g^{-1}Ng)g^{-1} \subseteq gNg^{-1}$，化简后得到 $N \subseteq gNg^{-1}$。
• 结合 $gNg^{-1} \subseteq N$ 和 $N \subseteq gNg^{-1}$，我们就得到了 $gNg^{-1}=N$。
• 实用性: 这个条件在实际证明中非常好用。因为要证明集合相等通常需要双向包含，而这个条件告诉我们，只需要证明单向的 $gNg^{-1} \subseteq N$ 就足够了，这往往能简化一半的证明工作。

作者在这里指出，最核心的等价关系，即 (4) $\iff$ (5)，已经在命题5的证明中完成了。剩下的等价关系则相对直接，留作练习。我们在这里简要梳理一下证明思路：

• (1) $\iff$ (2):
• $N \unlhd G$ 的定义是 $gNg^{-1}=N$ for all $g \in G$。
• $N_G(N)=G$ 的定义是 $\{g \in G \mid gNg^{-1}=N\} = G$。
• 这两个定义完全是同一个意思的两种不同写法。

• (1) $\iff$ (3):
• $gNg^{-1}=N \iff gN=Ng$。
• ($\Rightarrow$): 假设 $gNg^{-1}=N$。两边右乘 $g$，得到 $gN = Ng$。
• ($\Leftarrow$): 假设 $gN=Ng$。两边右乘 $g^{-1}$，得到 $gNg^{-1} = N$。

• (4) $\iff$ (5):
• 这正是命题5证明的内容。陪集乘法良定义等价于 $gng^{-1} \in N$ for all $g,n$，这又等价于 $gNg^{-1} \subseteq N$ for all $g$。

• (1) $\iff$ (5):
• 我们已经在上面的解释中证明了这一点。从 $gNg^{-1}=N$ 推出 $gNg^{-1} \subseteq N$ 是显然的。从 $gNg^{-1} \subseteq N$ for all $g$ 推出 $N \subseteq gNg^{-1}$ (通过将条件应用于 $g^{-1}$)，从而得到相等。

通过这些关系，所有五个条件都互相等价，构成了一个等价链。

在给出了正规子群的定义和等价条件后，这一段从非常实用的角度，教我们如何高效地判断一个子群是否正规，避免蛮力计算。

1. 避免蛮力计算: 直接根据定义 $gng^{-1} \in N$ 去检验所有的 $g \in G$ 和 $n \in N$ 是非常低效的，尤其是当 $G$ 或 $N$ 很大甚至是无限群时。本段的目标就是提供一些捷径。
2. 捷径1：利用生成元 (Generators)
   • 思想: 一个群（或子群）的性质，往往由它的生成元决定。如果能证明对生成元成立，那么对所有元素都成立。
   • 对 N 的生成元: 假设 $N = \langle S \rangle$，其中 $S$ 是 $N$ 的一个生成元集合。要证明 $N \unlhd G$，我们不需要检验所有 $n \in N$，只需要检验 $S$ 中的每个生成元 $s$。也就是说，我们只需要证明：对于所有的 $g \in G$ 和所有的 $s \in S$，都有 $gsg^{-1} \in N$。
   • 为什么可行 (练习26): 因为任何 $n \in N$ 都可以写成 $S$ 中元素的乘积和逆元。而共轭运算和乘法、求逆可以交换顺序：
   • $g(n_1n_2)g^{-1} = (gn_1g^{-1})(gn_2g^{-1})$
   • $g(n^{-1})g^{-1} = (gng^{-1})^{-1}$
   • 如果每个生成元的共轭都在 $N$ 里，那么由它们组成的任何元素的共轭也必然在 $N$ 里（因为 $N$ 是子群，对乘法和求逆封闭）。
   • 对 G 的生成元: 同样地，假设 $G = \langle T \rangle$，其中 $T$ 是 $G$ 的一个生成元集合。要证明 $N \unlhd G$，我们不需要用所有的 $g \in G$ 去共轭 $N$，只需要用 $T$ 中的每个生成元 $t$ 去共轭 $N$ 就行了。也就是说，我们只需要证明：对于所有的 $t \in T$，都有 $tNt^{-1} = N$。
   • 为什么可行: 因为任何 $g \in G$ 都可以写成 $T$ 中元素的乘积和逆元。而共轭的共轭就是共轭的乘积：$(g_1g_2)N(g_1g_2)^{-1} = g_1(g_2Ng_2^{-1})g_1^{-1}$。如果 $g_2$ 能正规化 $N$，那么这等于 $g_1Ng_1^{-1}$。以此类推，只要所有生成元都能正规化 $N$，那么所有元素都能。
3. 终极捷径：结合两者
   • 如果 $G=\langle T \rangle$ 且 $N=\langle S \rangle$，那么要证明 $N \unlhd G$，我们只需要做最少的检验：
   • 对于 $T$ 中的每个生成元 $t$，和 $S$ 中的每个生成元 $s$，计算 $tst^{-1}$，并验证其结果是否在 $N$ 中。
   • 这通常将一个无限的或者巨大的检验任务，简化为几次具体的计算。
4. 捷径2：直接证明正规化子是全集
   • 这是利用了定理6的等价条件(2)：$N \unlhd G \iff N_G(N)=G$。
   • 在某些情况下，我们可能能通过理论分析，直接证明 $N_G(N)$ 不可能小于 $G$（比如证明 $N_G(N)$ 的阶必须是 $|G|$），或者证明任何不在 $N$ 中的元素也必须正规化 $N$ 等。
   • 这种方法不依赖于计算，而是依赖于对群结构的更深理解。

这个命题是本章理论构建的顶峰。它在正规子群这个“内蕴”的代数概念，和同态的核这个“外源”的函数论概念之间，画上了一个完美的等号。

1. 命题的地位: 作者用“恰好相同”来强调这个等价关系的重要性。它告诉我们，我们对正规子群和同态的核的探索，实际上是在从两个不同方向研究同一个对象。
2. 命题内容: 这是一个当且仅当的陈述，包含两个方向。
   • 方向一: 如果一个子群 $N$ 是某个同态的核，那么它必然是正规的。
   • 方向二: 如果一个子群 $N$ 是正规的，那么我们必然能找到（或构造出）一个同态，使得 $N$ 恰好是这个同态的核。
3. 意义:
   • 这个定理为“什么样的子群可以构造商群”这个问题提供了终极答案。命题5说，陪集能构成群 $\iff$ 子群正规。命题7说，子群正规 $\iff$ 子群是核。定理3说，子群是核 $\implies$ 陪集能构成群。这三者完美地串联起来，形成了坚不可摧的逻辑链。
   • 它使得正规子群的研究和同态的研究可以互相转化。我们可以用同态的性质来研究正规子群，也可以通过寻找正规子群来分类一个群的所有同态像。

证明 ($\Rightarrow$): N是核 $\implies$ N正规

• 思路: 这个方向比较简单，因为它利用了我们已经建立的理论。
• 证明:

1. 假设 $N = \ker\varphi$ 对于某个同态 $\varphi: G \to H$。
2. 我们想证明 $N \unlhd G$。根据定理6的等价条件，我们只需要证明其中任何一个成立即可。最方便的是条件(3): $gN=Ng$ for all $g \in G$。
3. 根据命题2，对于任意 $g \in G$，纤维 $\varphi^{-1}(\varphi(g))$ 既等于左陪集 $gN$，也等于右陪集 $Ng$。
4. 所以 $gN = \varphi^{-1}(\varphi(g)) = Ng$。
5. 既然 $gN=Ng$ 对所有 $g \in G$ 成立，根据定理6， $N$ 就是正规子群。
   • 另一个证法 (直接用定义):
   • 要证 $gng^{-1} \in N$ for all $g \in G, n \in N$。
   • 我们计算 $\varphi(gng^{-1})$:
   • $\varphi(gng^{-1}) = \varphi(g)\varphi(n)\varphi(g^{-1})$ (同态性质)
   • $= \varphi(g) \cdot 1_H \cdot (\varphi(g))^{-1}$ (因为 $n \in N=\ker\varphi$，且同态保持逆元)
   • $= \varphi(g)(\varphi(g))^{-1} = 1_H$。
   • 因为 $\varphi(gng^{-1})=1_H$，所以根据核的定义，$gng^{-1}$ 就在核 $N$ 里面。证毕。

证明 ($\Leftarrow$): N正规 $\implies$ N是核

• 思路: 这个方向是构造性的。我们需要凭空“造”出一个同态，并证明它的核正好就是我们给定的正规子群 $N$。
• 构造:

1. 目标群 H: 我们应该把 $G$ 映射到哪里去呢？既然我们知道正规子群 $N$ 的陪集可以构成商群 $G/N$（根据命题5和定理6），那么最自然的选择就是令目标群 $H = G/N$。
2. 同态映射 $\pi$: 我们定义一个映射 $\pi: G \to G/N$，它的规则非常自然：把 $G$ 中的每个元素 $g$ 映射到它自己所在的那个左陪集 $gN$。
   • 所以 $\pi(g) = gN$。
   • 验证构造: 现在需要验证我们构造的这个 $\pi$ 确实是一个同态，并且它的核是 $N$。
3. 验证 $\pi$ 是同态:
   • 我们需要证明 $\pi(g_1g_2) = \pi(g_1)\pi(g_2)$。
   • 左边：$\pi(g_1g_2) = (g_1g_2)N$ (根据 $\pi$ 的定义)。
   • 右边：$\pi(g_1)\pi(g_2) = (g_1N)(g_2N)$ (根据 $\pi$ 的定义)。
   • 因为 $N$ 是正规的，所以陪集乘法是良定义的，其规则正是 $(g_1N)(g_2N) = (g_1g_2)N$。
   • 所以左边 = 右边。$\pi$ 确实是一个同态。
4. 验证核是 N:
   • 根据定义，$\ker\pi = \{g \in G \mid \pi(g) = \text{单位元 in } G/N\}$。
   • $G/N$ 中的单位元是陪集 $1N=N$。
   • 所以 $\ker\pi = \{g \in G \mid \pi(g) = 1N\}$。
   • 代入 $\pi$ 的定义：$\ker\pi = \{g \in G \mid gN = 1N\}$。
   • 根据陪集相等的判据（命题4），$gN=1N \iff 1^{-1}g \in N \iff g \in N$。
   • 所以 $\ker\pi = \{g \in G \mid g \in N\} = N$。
   • 结论: 我们成功地构造了一个同态 $\pi$，其核正好是 $N$。这就证明了任何正规子群都可以成为某个同态的核。

1. 为构造的同态命名: 在命题7的证明中，我们为了证明“正规 $\implies$ 核”而构造了一个非常重要的同态 $\pi(g)=gN$。这个同态是如此基础和常用，所以它值得拥有一个自己的名字。
2. 定义：自然投影同态 (Natural Projection Homomorphism)
   • 前提: $N$ 是 $G$ 的一个正规子群 ($N \unlhd G$)。
   • 映射: $\pi: G \to G/N$。
   • 规则: $\pi(g) = gN$。
   • 名称: 这个映射 $\pi$ 就叫做从 $G$ 到 $G/N$ 的自然投影同态，有时也简称自然映射或典范同态。
   • “自然”的含义: 称之为“自然”，是因为它的定义是如此的直接和不做作。给定一个元素 $g$，最自然地与它关联的商群中的元素，莫过于包含 $g$ 自身的那个陪集 $gN$。
   • “投影”的含义: 这个词描绘了一个几何图像。它把整个陪集 $gN$ 里的所有元素，都“投影”到商群 $G/N$ 里的同一个点上，这个点就是陪集 $gN$ 本身。
3. 定义：完全原像 (Complete Preimage)
   • 场景: 我们现在考虑商群 $G/N$ 内部的结构，比如它的子群。设 $\bar{H}$ 是 $G/N$ 的一个子群。
   • 定义: $\bar{H}$ 在 $G$ 中的完全原像，就是 $\bar{H}$ 在自然投影 $\pi$ 下的原像集合 $\pi^{-1}(\bar{H})$。
   • $\pi^{-1}(\bar{H}) = \{g \in G \mid \pi(g) \in \bar{H}\} = \{g \in G \mid gN \in \bar{H}\}$。
   • 换句话说，它是由所有那些其所属陪集在子群 $\bar{H}$ 中的 $G$ 的元素构成的集合。
4. 完全原像的性质:
   • 是G的子群: 练习1指出（实际上命题1(5)的证明思路也适用），同态下子群的原像总是子群。所以 $\pi^{-1}(\bar{H})$ 是 $G$ 的一个子群。
   • 包含N: 这个子群 $\pi^{-1}(\bar{H})$ 必然包含整个正规子群 $N$。为什么？
   • 因为 $\bar{H}$ 是 $G/N$ 的子群，所以它必须包含 $G/N$ 的单位元，即陪集 $1N=N$。
   • 完全原像 $\pi^{-1}(\bar{H})$ 就必须包含单位元 $N$ 的原像 $\pi^{-1}(N)$。
   • $\pi^{-1}(N) = \{g \in G \mid \pi(g)=N\} = \{g \in G \mid gN=N\} = \{g \in G \mid g \in N\} = N$。
   • 所以 $\pi^{-1}(\bar{H})$ 包含了 $N$。
5. 预告“格同构定理”:
   • 作者最后再次预告了同构定理的重要性。
   • 内容: 即将学到的理论会证明，在 "$G$ 中所有包含 $N$ 的子群" 和 "$G/N$ 中所有的子群" 之间，存在一个完美的一一对应关系。
   • 这个对应关系就是:
   • 从 $G/N$ 到 $G$: 取完全原像。$\bar{H} \mapsto \pi^{-1}(\bar{H})$。
   • 从 $G$ 到 $G/N$: 取像。对于任何包含 $N$ 的子群 $H \le G$，它的像 $\pi(H) = \{hN \mid h \in H\}$ 会是 $G/N$ 的一个子群。
   • 这个定理被称为格同构定理或对应定理，它精确地建立了商群的子群结构与原群“上层”子群结构之间的联系。

1. “内部标准”的确立: 作者总结道，通过前面的定理6和7，我们终于找到了一个完全“内蕴”的、不依赖于任何外部同态的标准，来判断一个子群 $N$ 是否“有资格”成为一个核。
   • 这个标准就是定理6的等价条件(2): $N$ 在 $G$ 中的正规化子 $N_G(N)$ 必须是整个群 $G$。
   • $N_G(N) = \{g \in G \mid gNg^{-1}=N\}$。条件 $N_G(N)=G$ 意味着 $G$ 中所有的元素 $g$ 都满足 $gNg^{-1}=N$，这正是正规子群的定义。
2. 正规化子的新诠释:
   • 基于这个标准，作者提出了一个对正规化子 $N_G(N)$ 的新的、更深刻的理解。
   • 正规化子可以被看作是衡量子群 $N$ “有多么接近正规”的一个度量。
   • 最大程度的正规性: 如果 $N_G(N)=G$，说明 $N$ 在 $G$ 中是“最正规的”，它就是一个真正的正规子群。
   • 较小程度的正规性: 如果 $N_G(N)$ 只是 $G$ 的一个真子群（proper subgroup），那么 $N$ 就不是正规的。$N_G(N)$ 的“大小”在某种程度上反映了 $N$ 的“正规程度”。$N_G(N)$ 越大，$N$ 就越“接近”正规。
   • 名称的解释: 这个视角也解释了“正规化子”这个名称的由来：它是由所有那些能使 $N$ 表现出“正规”行为（即 $gNg^{-1}=N$）的元素 $g$ 组成的集合。
3. 强调正规性的相对性:
   • 作者最后提醒了一个非常重要的概念：正规性是一个嵌入性质 (embedding property)。
   • 含义: 一个子群 $N$ 是否正规，不取决于 $N$ 自身是什么样的群（比如它是否阿贝尔，是否循环），而完全取决于它和它所在的“环境”——更大的群 $G$ ——之间的关系。
   • 例子:
   • 令 $N = S_3$，$G=S_3$。在这种情况下，$N=G$，而任何群都是其自身的正规子群，所以 $S_3 \unlhd S_3$。
   • 现在，考虑更大的群 $G'=S_4$。$S_3$ 可以被看作是 $S_4$ 中所有固定元素4的置换构成的子群。在这种“嵌入”方式下，$S_3$ 在 $S_4$ 中不是正规的。例如，取 $g=(14) \in S_4$, $n=(12) \in S_3$。$gng^{-1}=(14)(12)(14)=(42)$。元素 $(42)$ 改变了元素4，所以它不在 $S_3$ 中。
   • 结论: 同一个群 $S_3$，当它作为自身看待时是正规的，但当它被“嵌入”到 $S_4$ 中时，就可能不再正规。因此，说“$N$ 是一个正规子群”是不完整的，必须说“$N$ 是 $G$ 中的一个正规子群”。

这一部分是本节理论发展的完整总结，梳理了所有概念的来龙去脉和相互关系。

1. 第一条路径：从同态到商群 (Homomorphism $\to$ Quotient Group)
   • 起点: 假设我们有一个同态 $\varphi: G \to H$。
   • 步骤1: 我们定义了它的核 $N = \ker\varphi$，并证明了 $N$ 是一个正规子群 (这是命题7的一部分)。
   • 步骤2: 我们定义了商群 $G/N$，其元素是 $\varphi$ 的纤维（也就是 $N$ 的陪集）。
   • 结论: 我们证明了这个商群 $G/N$ 同构于 $\varphi$ 的像 $\text{im}(\varphi)$ (这是第一同构定理)。
   • 总结: 这条路径告诉我们，任何同态都“自带”一个正规子群（它的核）和一个商群（同构于它的像）。
2. 第二条路径：从正规子群到同态 (Normal Subgroup $\to$ Homomorphism)
   • 起点: 假设我们有一个正规子群 $N \unlhd G$。
   • 步骤1: 我们证明了 $N$ 的陪集可以构成一个群，即商群 $G/N$ (这是定理6和命题5的核心)。
   • 步骤2: 我们构造了一个目标群 $H=G/N$。
   • 步骤3: 我们构造了一个同态 $\pi: G \to G/N$，即自然投影 $\pi(g)=gN$。
   • 结论: 我们证明了这个同态 $\pi$ 的核恰好就是我们开始时的那个正规子群 $N$ (这是命题7的核心证明)。
   • 总结: 这条路径告诉我们，任何正规子群都可以“生成”一个同态（自然投影），并在这个同态中扮演核的角色。
3. 两条路径的汇合：等价性
   • 综合上述两条路径，我们得到了一个深刻的结论：研究一个群 $G$ 的所有同态像，和研究它的所有商群，是本质上等价的两件事。
   • 任何一个同态像都对应于一个商群 ($G/\ker\varphi \cong \text{im}(\varphi)$)。
   • 任何一个商群 $G/N$ 本身就是一个同态像（它是自然投影 $\pi$ 的像）。
   • 工具箱: 这给了我们一个强大的工具箱。我们可以用同态来寻找和构造正规子群及其商群。反过来，我们也可以通过分析一个群的所有正规子群，来分类和理解这个群所有可能的同态像。
4. 教学法回顾:
   • 作者最后解释了自己选择从“同态”入手的教学策略的原因。
   • 原因: 从同态和纤维入手，可以非常直观地强调商群的一个核心本质：商群的元素不是原群的元素，而是原群的子集。
   • 可视化的力量: 图1中“折叠”或“投影”的可视化，生动地表现了陪集被“压扁”成商群中一个点的过程，这比纯粹的代数定义更易于建立直觉。
   • 运算的本质: 最后，再次强调了商群中运算的实际执行方式——通过在原群中操作代表元来完成。

这一节开始通过一系列具体的例子来应用和巩固正规子群和商群的知识。

(1) 两个平凡正规子群 (Trivial Normal Subgroups)

• 内容: 任何一个群 $G$ 都至少有两个正规子群：只包含单位元的平凡子群 $\{1\}$ (简记为 1) 和群自身 $G$。
• 证明:
• 对于 $N=\{1\}$: $g \cdot 1 \cdot g^{-1} = gg^{-1} = 1 \in \{1\}$。所以 $\{1\} \unlhd G$。
• 对于 $N=G$: $gGg^{-1}$ 是 $G$ 中所有元素的共轭构成的集合。由于对任意 $x \in G$，元素 $gxg^{-1}$ 也必然在 $G$ 中，并且这个共轭映射是一个双射，所以 $gGg^{-1}=G$。因此 $G \unlhd G$。
• 对应的商群:
• $G/\{1\}$: “模掉”单位元，不改变任何结构。所以 $G/1 \cong G$。
• $G/G$: 把整个群“压扁”成一个点。所以 $G/G \cong \{1\}$ (平凡群)。
• 意义: 这两个正规子群被称为平凡正规子群。如果一个群除了这两个之外没有其他正规子群，这个群被称为单群 (Simple Group)。单群在群论中扮演着“原子”的角色，是构造所有有限群的基本模块。

(2) 阿贝尔群的子群 (Subgroups of Abelian Groups)

• 内容: 在一个阿贝尔群 $G$ 中，它的任何一个子群 $N$ 都自动是正规子群。
• 证明:
• 我们需要验证正规性条件 $gng^{-1} \in N$ for all $g \in G, n \in N$。
• 因为 $G$ 是阿贝尔群，所以群中任意两个元素都可以交换位置。
• 因此，$gng^{-1} = gg^{-1}n$ (因为 $n$ 和 $g^{-1}$ 可以交换)。
• $= 1 \cdot n = n$。
• 因为 $n$ 本身就在 $N$ 中，所以 $gng^{-1}=n \in N$。条件成立。
• 重要提醒: 作者强调，是大群 $G$ 的阿贝尔性保证了其子群的正规性，而不仅仅是子群 $N$ 自身的阿贝尔性。例如，子群 $N=\{e,(12)\}$ 是阿贝尔的（只有两个元素），但它在非阿贝尔群 $S_3$ 中并不是正规的。
• 商群结构的多样性: 即使所有子群都是正规的，它们对应的商群的结构也可能千差万别。
• 例子 $G=\mathbb{Z}$:
• $\mathbb{Z}$ 是阿贝尔群，所以它的任何子群都是正规的。
• 我们知道 $\mathbb{Z}$ 的所有子群都是形如 $n\mathbb{Z}$ (所有n的倍数) 的循环群，其中 $n$ 是某个非负整数。
• 对应的商群就是 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。
• 作者进一步指出，这个商群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 也是一个循环群，并且它的一个生成元是 $\bar{1}$。为什么？因为 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中任何一个元素 $\bar{a}$ 都可以通过将 $\bar{1}$ 与自身相加 $a$ 次得到: $\bar{a} = a \cdot \bar{1}$。
• 推广: 这个例子引出了一个更一般的结论（虽然这里没证明）：如果 $G$ 是循环群，那么它的任何商群 $G/N$ 也都是循环群。并且，如果 $g$ 是 $G$ 的一个生成元，那么 $\bar{g}$ 就是 $G/N$ 的一个生成元。

这一段深入探讨了循环群的商群的结构，并得出了一个非常优美的结论。

1. 场景设定:
   • $G$ 是一个 $k$ 阶有限循环群 $Z_k$。
   • $x$ 是 $G$ 的一个生成元，所以 $G=\{1, x, ..., x^{k-1}\}$。
   • $N$ 是 $G$ 的任意一个子群。
2. 子群的结构:
   • 作者引用了一个关于循环群子群的重要定理（命题2.6）：有限循环群的任何子群都是循环的。
   • 不仅如此，这个子群 $N$ 可以由 $x$ 的某个次幂 $x^d$ 生成，其中 $d$ 是使得 $x^d \in N$ 的最小正整数。
   • 并且，这个 $d$ 必须整除原群的阶 $k$。$N$ 的阶是 $k/d$。
3. 商群的元素:
   • $G/N$ 的元素是 $N$ 的陪集。
   • 因为 $G$ 中任何一个元素 $g$ 都可以写成 $x^\alpha$ 的形式，所以任何一个陪集 $gN$ 都可以写成 $x^\alpha N$ 的形式。
   • 所以 $G/N = \{x^0N, x^1N, ..., x^{k-1}N\}$ (其中会有重复)。
4. 商群的结构:
   • 关键性质: 作者引用了练习4的结论：$(x^\alpha)N = (xN)^\alpha$。这意味着，由 $x^\alpha$ 代表的陪集，等于由 $x$ 代表的陪集 $(xN)$ 在商群中自乘 $\alpha$ 次。
   • 推论: 既然商群中任何一个元素 $x^\alpha N$ 都可以表示成另一个元素 $(xN)$ 的幂次，这正好符合循环群的定义！
   • 结论: 商群 $G/N$ 是一个循环群，并且它的一个生成元就是陪集 $xN$。
5. 商群的阶:
   • 一个循环群的阶等于其生成元的阶。所以 $|G/N| = |xN|$ (这里 $|xN|$ 指元素 $xN$ 在 $G/N$ 中的阶)。
   • 作者引用练习5的结论：元素 $gN$ 在 $G/N$ 中的阶，是使得 $g^n \in N$ 的最小正整数 $n$。
   • 应用到 $xN$ 上：$xN$ 的阶就是使得 $x^n \in N$ 的最小正整数 $n$。
   • 根据我们对 $N$ 的定义，$N=\langle x^d \rangle$，使得 $x^n \in N$ 的最小正整数正是 $d$。
   • 所以，$|xN|=d$。因此，商群 $G/N$ 的阶是 $d$。
   • 与子群阶的关系: 作者又引用了命题2.5（实际上是拉格朗日定理在循环群中的应用），它告诉我们，如果 $N=\langle x^d \rangle$，那么 $d = |G|/|N|$。
   • 这个结论似乎与我的知识有出入。$|N| = k/d$。所以 $d = k/|N| = |G|/|N|$。这个结论是对的。
   • 所以，商群的阶 $|G/N|=d = |G|/|N|$。这正是拉格朗日定理所预言的：陪集的数量（即商群的阶）等于大群的阶除以子群的阶。
6. 最终总结:
   • 核心结论: 循环群的商群是循环群。
   • 生成元关系: 原群的生成元 $g$ 在商群中的像 $\bar{g}$ (即陪集 $gN$) 是商群的一个生成元。
   • 阶的公式: 对于有限循环群，$|G/N| = |G|/|N|$。